Probabilidad de que un vector en $\mathbb{Z}^n$ es primitivo

Question

Un vector $v \in \mathbb{Z}^n$ es primitivo si no existe algún vector $v' \in \mathbb{Z}^n$ y algunos $k \in \mathbb{Z}$ tal que $v = k v'$$k \geq 2$.

Para un artículo que estoy escribiendo ahora mismo, me gustaría saber que un "azar" vector en $\mathbb{Z}^n$ es primitivo. Permítanme hacer esta precisión.

Deje $\|\cdot\|_{1}$ $L^{1}$ norma $\mathbb{Z}^n$, lo $\|v\|_1 = \sum_{i=1}^n |v_i|$, donde el $v_i$ son los componentes de $v$. Definir $\mathcal{V}_k$ a ser el número de vectores $v$ $\mathbb{Z}^n$ tal que $\|v\|_1 \leq k$. Definir $\mathcal{P}_k$ a ser el número de vectores primitivos $v$ $\mathbb{Z}^n$ tal que $\|v\|_1 \leq k$.

Luego quiero $$\lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\mathcal{P}_k}{\mathcal{V}_k} = 1.$$ Suponiendo que esto es cierto, ¿hay algún buen estimación de la velocidad con la que los enfoques $1$?

Answer 1

En el caso de que $n = 2$, por lo que estamos pidiendo la "probabilidad" de que dos enteros son primos relativos; esto es bien conocido que se $6/\pi^2$, no 1. En la general-$n$ de los casos, la probabilidad de que $n$ enteros son relativamente primos es $1/\zeta(n)$.

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Referencia: http://en.wikipedia.org/wiki/Coprime

Answer 2

Además de Michael respuesta, no sólo a $\mathcal{P}_k/\mathcal{V}_k\to1/\zeta(n)$, pero se puede calcular un límite para la velocidad de convergencia. Yo también voy a dar un argumento que es un poco diferente de la dada, en su Wikipedia referencia.

Tomando nota de que el conjunto de $\lbrace v\in\mathbb{R}^n\colon\Vert v\Vert_1\le k\rbrace$ volumen $ck^n$ (para una constante c, dependiendo únicamente de la dimensión n) y el área de superficie proporcional a $k^{n-1}$ da $$ \mathcal{V}_{k}-1=ck^n + O(k^{n-1}).\qquad\qquad{\rm(1)} $$ El '-1' en el lado izquierdo no es relevante para los grandes de k, ya que puede ser absorbido en el S(k^n-1) término de error, y es justo allí, así que (1) es válida también para los pequeños de k < 1. Observando que cada distinto de cero $v\in\mathbb{Z}^n$ se descompone de forma única como $v=mv^\prime$ por entero $m\ge1$ y primitivo $v^\prime\in\mathbb{Z}^n$ conduce a la siguiente relación entre el$\mathcal{P}_k$$\mathcal{V}_k$, $$ \mathcal{V}_k-1=\sum_{m=1}^\infty\mathcal{P}_{\frac{k}{m}}. $$ Esto puede ser invertida a través de la función de Möbiusµ, $$ \mathcal{P}_k=\sum_{m=1}^\infty\mu(m)(\mathcal{V}_{\frac{k}{m}}-1). $$ En la dimensión $n > 2$, sustituyendo (1) en esta expresión da $$ \mathcal{P}_k=\sum_{m=1}^\infty \mu(m)c k^n m^{-n} + O(k^{n-1}).\qquad\qquad{(2)} $$ El $O(k^{n-1})$ proviene de la suma de $\sum_m (k/m)^{n-1}$ desde el resto término de (1) que, por $n > 2$, da $k^{n-1}$ multiplicado por una convergente suma. Dividiendo por $\mathcal{V}_k$, $$ \mathcal{P}_k/\mathcal{V}_k=\sum_{m=1}^\infty\mu(m)m^{-n}+O(1/k)=1/\zeta(n)+O(1/k). $$ Edit: El caso de $n=2$ es en realidad un poco diferente, y no podemos obtener una buena tasa de convergencia. Como la suma de $\sum_m(k/m)^{n-1}$ no converge, el término de error en (2) no se aplica. En su lugar, podemos utilizar $O(1_{\lbrace k\ge1\rbrace}k+1_{\lbrace k < 1\rbrace}k^2)$ para el término de error en (1). Esto conduce a un error de orden de $k\sum_{m\le k}m^{-1}+k^2\sum_{m > k}m^{-2}\sim k\log k$ en (2), dando $$ \mathcal{P}_k/\mathcal{V}_k=1/\zeta(2)+O(\log k/k). $$ También puede buscar en el documento Sobre la probabilidad de que k enteros positivos son relativamente primos.