Deje $G$ ser un grupo, y $H$ a un subgrupo de $G$. Deje $a, b \in G$. Demostrar $Ha=Hb$ fib $ab^{-1} \in H$.

Question

Deje $G$ ser un grupo, y $H$ a un subgrupo de $G$. Deje $a, b \in G$.

Demostrar $Ha=Hb$ fib $ab^{-1} \in H$.

$\rightarrow$ Si $Ha=Hb$, $h_1a=h_2b$ algunos $h_1, h_2 \in H$.

Por eso, $ab^{-1} = h_1^{-1}h_2$.

Por lo tanto, $ab^{-1} \in H$.

$\leftarrow$ Si $ab^{-1} \in H$, $ab^{-1} = h_3$ algunos $h_3 \in H$.

Por eso, $a=h_3b$, y por lo tanto $a \in Hb$.

Por lo tanto, $a \in Hb$ implica $Ha=Hb$.

Es esto una prueba de la correcta? Estoy seguro acerca el primer paso (Si $Ha=Hb$, $h_1a=h_2b$ algunos $h_1, h_2 \in H$.).

Answer 1

Su argumento es correcto (incluyendo el primer paso), pero creo que tu última afirmación requiere un poco más de la justificación. Es decir, debe explicar por qué $a \in Hb$ implica $Ha = Hb$; sólo para ser claros, es cierto, pero no creo que te he explicado claramente por qué es cierto. Como $a = h_3b$, $ha = hh_3b \in Hb$, así que el hecho de que $Ha \subseteq Hb$ sigue con bastante facilidad (pero todavía puede ser vale la pena señalar). El reverso de la inclusión no es tan trivial.

Añadido Posterior: Como Sayantan Kolgy menciona en su respuesta, usted puede utilizar el hecho de que los distintos cosets son distintos así como $a \in Ha$$a \in Hb$, debemos tener $Ha = Hb$. Si bien esta es una manera mucho más directa en llegar a la conclusión, no es inmediatamente claro que esto es el hecho de que está utilizando (como mi respuesta lo demuestra).

Answer 2

También puede hacer una cosa que $a \in Ha$$a \in Hb$. Sabemos que la intersección de dos coset está vacío o son iguales. A continuación,$Ha=Hb$.