Calcule $\mathbb{E}(W_t^k)$ para un movimiento browniano $(W_t)_{t \geq0}$ utilizando el Lemma de Itô

Question

Demostrar mediante el Lemma de Ito, para $k \geq 2$ se cumple el siguiente resultado.

$$E[W(t)^k] = \frac{1}{2} k(k-1)\int_0^t E[W(s)^{k-2}]ds$$

donde $W(t) = N(0,t)$ es un movimiento browniano estándar.

Creo que $E[W(t)^k]$ es una expectativa sobre el espacio,

$$E[W(t)^k] = \int_x x^k N(0,t) dx $$

¿Cómo podría derivar a la R.H.S. que contiene una integral de tiempo? Me falta una pista al respecto.

Answer 1

Sea $f(x) := x^k$ entonces por la fórmula de Itô

$$W_t^k = \int_0^t k \cdot W_s^{k-1} \, dW_s + \frac{1}{2} k \cdot (k-1) \cdot \int_0^t W_s^{k-2} \, ds$$

Desde $(t,\omega) \mapsto \left(\int_0^t k \cdot W_s^{k-1} \, dW_s \right)(\omega)$ es una martingala, tenemos $$\mathbb{E}(W_t^k) = 0+ \frac{1}{2} k \cdot (k-1) \cdot \mathbb{E} \left( \int_0^t W_s^{k-2} \, ds \right) = \frac{1}{2} k \cdot (k-1) \cdot \int_0^t \mathbb{E}(W_s^{k-2}) \, ds$$