Requisitos previos para la topología algebraica

Question

Me gustaría estudiar por mi cuenta la obra de Munkres Topología . Ya me siento cómodo con la topología de conjuntos de puntos, así que la primera parte del libro me servirá como un buen repaso con algunos teoremas nuevos de vez en cuando. Mi principal interés es la segunda parte, Topología algebraica. En ella, el autor dice que "asumimos la familiaridad con los elementos de la teoría de grupos".

¿Cuáles son exactamente los elementos de la teoría de grupos que se necesitan? ¿Hay algún PDF o libro conciso que me proporcione los elementos necesarios para estudiar la segunda parte del libro de Munkres? (Por favor, no recomienden tomos como Dummit & Foote). Gracias.

Answer 1

Estoy de acuerdo con Henry T. Horton en que, si bien se afirma que "asumimos la familiaridad con los elementos de la teoría de grupos...", el material relevante para continuar en Munkres se enumera/revisa al principio de la sección sobre grupos fundamentales:

• homomorfismos;
• granos;
• subgrupos normales;
• grupos cotizados;

con mucho de esto interrelacionado.

Fraleigh's Un primer curso de álgebra abstracta sería un lugar perfecto para aprender estos fundamentos de los grupos y la teoría de grupos; el texto cubre la mayor parte de lo que se menciona arriba en las tres primeras secciones (numeradas con números romanos) - las primeras 120 páginas más o menos, y parte del material inicial con el que ya puede estar familiarizado.

Es un texto muy legible, con muchos ejemplos y motivación para los temas, y con ejercicios muy clásicos. Sin duda, esto debería ser suficiente para lo que le gustaría mejorar sus posibilidades de conquistar la "Parte II" de Munkres.

Un buen recurso para tener a mano mientras se lee Munkres, y/o para empezar a repasar antes de seguir con Munkres, es el libro de Michael Artin Álgebra (2ª edición). ¡Hace un gran trabajo tratando a los grupos!

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Si el coste es un problema, y/o no puedes encontrar una copia del texto de Fraleigh en una biblioteca:

También puede ser que desee comprobar Beachy y Blair's Texto de álgebra abstracta en línea (acceso a la segunda edición) y centrarse en el material cubierto a través de/incluyendo Grupos.

Answer 2

Aunque podría decirse que Munkres es autosuficiente, hay otros temas (además de los ya mencionados) con los que pronto se encontrará:

(1) Grupos libres (abelianos y no). (2) Subgrupos conmutadores, y (de memoria). (3) Centralizadores.

También utiliza el 1er teorema de isomorfismo en abundancia, y creo que los demás en los ejercicios (que está contenido supongo en la mención de los grupos cocientes; pero muy clave para poder manejarse sobre la marcha). El material algebraico que necesitas para pasar cómodamente el primer capítulo sobre grupos fundamentales no es difícil. Una vez que llegas a SvK, yo (también leyendo a Munkres por mi cuenta) me encontré con un reto considerablemente mayor teniendo en cuenta mis conocimientos (también autodidactas) de aproximadamente 1 semestre de teoría de grupos.

Los libros que utilicé y me gustaron bastante son Armstrong, Grupos y Simetría; y Artin, Álgebra. Puedo recomendar ambos, pero no compararlos con los anteriormente mencionados.

Buena suerte.