Tus conjeturas son más o menos ciertas, pero la realidad es mucho más complicada de lo que has expresado.
Resumen
Contando $p$ -grupos para grandes $p$ (comparada con la clase de nilpotencia) es lo mismo que contar ciertas álgebras Lie de dimensión finita (restringida). Tales conteos se organizan en un árbol, siendo los grupos más pequeños los padres de los grupos más grandes. Tales conteos implican un álgebra lineal y un cálculo de la órbita. El cálculo de la órbita implica contar puntos en una variedad. En todos los casos conocidos antes de 2011 más o menos, los cálculos de la órbita fueron "PORC", clases de polinomios sobre residuos, de modo que mientras que no hay un solo número, y no hay un solo polinomio que funcione, hay finamente muchos polinomios que funcionan, y la elección de cuál polinomio se basa únicamente en el residuo de $p$ mod algún número fijo $n$ . En lugar de organizar $p$ -grupos por orden, puede ser mejor organizarlos por coclas: el número de veces que un niño es mucho más grande que el padre. En 2012, se encontró un grupo de padres de modo que los cálculos de la órbita involucraron de manera no PORC contar los puntos en una variedad. Investigaciones posteriores encontraron que las clases de conjugación del grupo y sus descendientes tampoco eran PORC.
Sin embargo, en mi opinión los cálculos para $p^5$ (que son PORC) son extremadamente similares a estos, así que para mí la esencia de la conjetura todavía se mantiene, pero su expresión específica es ahora conocida por ser defectuosa. Encontré que los recientes trabajos de Vaughan-Lee son una introducción muy legible a estas ideas, aunque las aprendí de los libros mencionados a continuación.
Correspondencia de Lazard
Dado un $p$ -grupo $G$ definir los subgrupos $G_{n+1} = [G,G_n] (G_n)^p$ con $G_1 = G$ para que $G_2 = \Phi (G)$ y $G_n/G_{n+1}$ es un abeliano elemental $p$ -grupo centralizado por $G$ . Esto llamó al exponente inferior $p$ serie. Definimos una serie restringida $p$ -Mentir el álgebra en $L(G) = \oplus_n G_n/G_{n+1}$ con $[a_i,b_j]_L = v$ y $(a_i)^p_L = w$ donde $$v_{ \ell } = \begin {cases} [a_i,b_j]_G & \ell = i+j \\ 0 & \text {otherwise} \end {cases} \qquad w_{ \ell } = \begin {cases} (a_i)^p_G & \ell = i + 1 \\ 0 & \text {otherwise} \end {cases} $$ En otras palabras, el conmutador y $p$ El mapa de poder es el mismo en $L(G)$ como en $G$ excepto que debemos tener cuidado con el grupo de cociente en el que todo sucede. Si $G_p = 1$ entonces se puede recuperar el grupo $G$ de $L(G)$ usando la fórmula Baker-Campbell-Hausdorff para el exponencial, de modo que el conteo $G$ s es lo mismo que contar $L(G)$ s.
En el caso de Higman, esta correspondencia es bastante clara: $L(G) = G/ \Phi (G) \oplus \Phi (G)$ y así cada elemento de $L(G)$ tiene la forma $( \bar g, h)$ y $[ ( \bar a, b), ( \bar c, d) ] = ( \bar 1, [a,c] )$ y $( \bar a,b)^p = ( \bar 1, a^p)$ . Cualquier base de $L(G)$ es un conjunto generador mínimo de $G$ (después de tomar cualquier elección arbitraria de preimágenes), y las relaciones restringidas de álgebra Lie dan las relaciones del grupo. Higman demostró que si $G_3=1$ entonces la enumeración de estas álgebras mentirosas fue PORC.
$p$ -algoritmo de generación de grupos
Para organizar el cálculo, vemos $G/G_n$ como padre de $G/G_{n+1}$ . Dado que un padre $G/G_n$ que ya hemos construido, intentamos encontrar a todos los descendientes $G/G_{n+1}$ . Este cálculo se describe en el artículo de O'Brien de 1990. De nuevo, lo esencial es sólo álgebra lineal y cálculos de órbita, así que uno tiende a obtener el comportamiento del PORC.
Estas técnicas se utilizaron para corregir los cálculos anteriores de $p^6$ y enumerar los grupos de orden $p^7$ . En todos los casos las respuestas resultan ser PORC. Cada presentación depende de $p$ que ocasionalmente requiere que se escojan elementos del espacio orbital de una variedad sobre alguna característica $p$ -campo. Las propiedades de cada presentación son (más o menos por definición de la $p$ -grupo que genera el algoritmo) lo mismo: en particular la clase de nilpotencia y $p$ -clase es constante en estas variedades, de hecho toda la estructura de $G/G_n$ es constante.
Coclass
Organizando $p$ -grupos por su orden es en muchos aspectos una mala idea. Philip Hall sugirió usar el iso-clinismo como una mejor relación de equivalencia que el orden, y este método se usó en gran parte de los trabajos anteriores. Sin embargo, el coclismo demostró ser un método unificador muy bueno. En muchos casos hay una única expresión (parametrizada) para una secuencia infinita de grupos, cuyas propiedades (clase de nilpotencia y clases de conjugación) son parametrizadas de una manera muy simple. La coclase de $G$ es $n-c$ donde $|G|=p^n$ y $c$ es la clase de nilpotencia. Un grupo de la coclase 0 es cíclico de orden $p$ y los grupos de la clase 1 se llaman clase máxima. Para $p=2$ Estos son los grupos de diedros, semidiédricos y cuaternarios; cada uno de ellos tiene agradables expresiones parametrizadas, y la mayoría de las veces es fácil tratar con toda la familia. Las conjeturas de la clase C dan buena información sobre los grupos de cada familia usando una $p$ -grupo espacial adicto (un solo grupo con una presentación simple cuyos cocientes finitos son los grupos principales de esa familia). Los grupos no principales son el tema de estudio actual. Las funciones zeta de du Sautoy y el grupo de investigación computacional de Eick han hecho progresos significativos en estos grupos.
Comportamiento no FORC
Recientemente un grupo de orden $p^9$ cuyos descendientes de orden $p^{10}$ no son PORC fue descubierto por du Sautoy y Vaughan-Lee (2012). En un documento de seguimiento (bastante expositivo) también muestran el número de clases de conjugación y el tamaño del grupo de automorfismo no son PORC. En dos documentos expositivos de seguimiento, Vaughan-Lee revisa y simplifica los cálculos originales del PORC de Higman.
Bibliografía
Libros
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Artículos
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