Sobre el interior de la unión de dos conjuntos

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y deje $A,B\subseteq X.$ sabemos que, en general, sólo tenemos $$int(A)\cup int(B)\subseteq int(A\cup B). $$

Mi pregunta es: ¿Cuándo decimos que la igualdad se mantiene?

Me vino con esta idea porque si no tal condición para que la igualdad se mantiene, entonces puedo manejar para probar que $$\partial (A\cup B)=\partial A\cup \partial B$$ siempre que $\overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing.$

Algún consejo?:)

Answer 1

Reclamo:

$ int(A\cup B) = int(A) \cup int(B) \iff \partial A \cap \partial B \subset \partial (A \cup B) $

Prueba:

Puesto que usted está más interesado en la ($\Leftarrow$) parte de la afirmación que voy a probar, primero, que. Para ambas partes de la prueba, recuerde que el interior, exterior y frontera de un conjunto es una partición de todo el espacio, es decir, $int(A) \cup \partial A \cup ext(A) = X$ donde todos los tres conjuntos son disjuntos. También, el interior y el exterior se abra conjuntos.

($\Leftarrow$) Como usted ha dicho $int(A) \cup int(B) \subset int(A\cup B)$. Así que, yo sólo se centrará en demostrar a $int(A\cup B) \subset int(A) \cup int(B)$.

Deje $x \in int (A \cup B)$. Si $x \in int(A)$ o $x \in int(B)$, entonces hemos terminado. Así, supongamos que $x \notin int(A)$$x \notin int(B)$.

Por hipótesis, si $x \in \partial A \cap \partial B$$x \in \partial(A\cup B)$, pero el interior y la frontera de $(A \cup B)$ son inconexos, lo cual es una contradicción. Por eso, $x \notin \partial A \cap \partial B$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x \notin \partial B$. A continuación, $x \in ext(B)$ y, o bien $x \in \partial A$ o $x \in ext(A)$.

Caso 1: $x \in \partial A$,

Desde $x \in ext(B)$, hay un barrio $V \subset B^C$ de x. Desde $x \in int(A \cup B)$ hay un barrio $U \subset (A\cup B)$ de x. A continuación, $U \cap V$ es un barrio de $x$$X$. Tenga en cuenta que $(U \cap V) \subset (A\cup B) \cap B^C \subset A$. Pero desde $x \in \partial A$, cualquier barrio de $x$ debe intersectar no trivialmente con $A^C$. Por lo tanto, es una contradicción. Por eso, $x \notin \partial A$.

Caso 2: $x \in ext(A)$,

$x \int(A \cup B) \subconjunto A \cup B \subconjunto \bar \cup \bar B = (int(A) \cup \parcial A) \cup (int(B) \cup \partial B)$. However $x \in ext(A)$ and $x \in ext(B)$ implying that $x \noen int(A) \cup \parcial$ y $x \notin int(B) \cup \partial B$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, $x \in int(A)$ o $x \in int(B)$ es decir $x \in int(A) \cup int (B)$.

$ (\Rightarrow) $ Deje $x \in \partial A \cap \partial B$.

Por eso, $x \notin int(A) $ $ x \notin int(B)$ lo que implica $x \notin int(A) \cup int(B) = int(A\cup B)$.

Por lo tanto, $x \in \partial (A \cup B) \cup ext(A\cup B)$.

Suponga $x \in ext(A \cup B)$, entonces existe una vecindad $P \subset (A \cup B)^C $ $x$ (donde $A^C$ significa que el complemento para el conjunto de $A$).

Pero $(A \cup B)^C \subset A^C$. Es decir, tenemos un barrio de $x$, que está contenida en $A^C$ significado $ x \notin \partial A$ lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, $x \in \partial(A\cup B)$.