Hilbert Hotel: ¿y si countably muchos autobuses cada uno con countably muchos de que llegaran los invitados?

Question

Situación: Hay un dueño de un hotel David Hilbert, quien es propietaria de un hotel con countably muchos (infinito que puede ser asignada por el número natural surjectively) habitaciones, y no son contables huéspedes que vivían en el interior a partir de habitaciones:1, y así sucesivamente.

Ahora bien, si un invitado llegaba...supongo que todos sabemos lo que hacer, pido a todos que pasen a la siguiente puerta y Sala de repuesto NO:1 para el huésped.

Ahora bien, si un autobús de countably nueva de que llegaran los invitados...podemos pedir a los residentes a trasladarse a las habitaciones con el número de habitación doble de su actual número de la habitación así como para guardar todos los números impares de habitaciones para los nuevos huéspedes.

Pregunta: Pero ahora lo que si countably muchos autobuses cada uno con countably muchos de que llegaran los invitados? ¿Qué podemos hacer para encontrar nuevas habitaciones para los nuevos clientes?

Sé que la unión de countably muchos contable de conjuntos contables, y hasta el momento estoy pensando en algo que hacer con el primer número de la factorización de elevar a la potencia del número de sus autobuses...pero entonces ¿cómo puedo pedir a los ocupantes a mover...?

Cualquier pensamiento o mejor habitación-asignación de esquema?

Answer 1

Desde académico salarios no son generosos, Hilbert le gusta de su hotel, para tener la plena ocupación.

Asumir las habitaciones del hotel están contados $1$, $2$, $3$, y así sucesivamente.

Mover el huésped que ocupa actualmente la sala de $k$ a de la sala de $2k-1$.

El $k$-th persona en bus $1$ va a la sala de $2^1(2k-1)$.

El $k$-th persona en bus $2$ va a la sala de $2^2(2k-1)$.

En general, el $k$-th persona en bus $j$ va a la sala de $2^j(2k-1)$.

Tenemos la plena ocupación de nuevo.

Answer 2

Mover todos sus invitados de la $n$-ésimo de la sala a de la $2^n$-ésimo de la habitación.

Los huéspedes de la $k$-th autobús se colocarán en los poderes de la $k+1$-ésimo número primo. Esto garantiza que todos los huéspedes están bien situados, y otras cosas.

Alternativamente, corregir algunos bijection entre el$\mathbb N$$\mathbb N^2$, y enviar a los huéspedes a las habitaciones cuyos números se asignan a $(0,n)$ y enviar a los invitados de la $k$-th autobús a las habitaciones cuyos números se asignan a $(k,n)$.

Answer 3

Usted puede tener los ocupantes se mueven en la misma forma (el doble de su número de habitación), a continuación, pedir a los nuevos huéspedes a reservar una habitación basado en un argumento de diagonalización: cada bus tiene una fila en una variedad infinita, de modo que la persona en (1,1), toma la primera sala abierta, a continuación, (1,2), (2,1), y así sucesivamente.