Aparte de las dos de la factorización de axiomas, la prueba en Dwyer-Spalinski's sección 7 pasa a través de la generalidad y no dar un rodeo a través Dold-Kan. Por lo tanto, sólo voy a llenar en la parte del argumento según el objeto pequeño argumento en todas las fuentes que conozco.
Con el fin de producir factorizations sin el objeto pequeño argumento, usted puede hacer uso de la asignación de cono y la asignación de cilindro de construcciones. Hice esto en mi tesis, Apéndice C, para delimitada por debajo de los complejos en un exacto categoría con suficiente projectives. Para no negativo complejos, esencialmente las mismas construcciones de trabajo, pero uno se enfrenta a la dificultad adicional de asegurarse de que los complejos de estancia no negativo. No sé que tan elemental prueba está escrito en algún lugar en la literatura, pero no es demasiado difícil...
El argumento es bastante tedioso ejercicio en álgebra homológica. La naturaleza explícita de la construcción muestra que se puede obtener functorial factorizations siempre hay un 'proyectiva resolvent functor', es decir, no es un functor $P \colon \mathcal{A} \to \mathcal{P}$ y un epimorphic transformación natural $P \Rightarrow \operatorname{id}_{\mathcal{A}}$.
Usaremos el siguiente lema:
Para cada complejo de $A$ $\mathcal{M}$ hay una degreewise epimorphic cuasi-isomorfismo $P \to A$ donde $P$ es un complejo con proyectiva componentes.
Una prueba y las referencias se puede encontrar aquí: Cada cadena compleja que es cuasi-isomorfo a un $\mathcal J$-complejo
Considere la posibilidad de un arbitrario de morfismos $f \colon A \to B$ $\require{AMScd}$. Tenemos que producir la costumbre factorizations.
Vamos a empezar con el caso más fácil:
Recordemos que el habitual mapa de $\operatorname{cyl}(f) \to B$ es degreewise surjective y una cadena de homotopy de equivalencia, en particular, es a la vez un fibration y una débil equivalencia. La inclusión $A \to \operatorname{cyl}(f)$ está cerca de ser una cofibration, pero su cokernel $\operatorname{cone}(f)$ no es un complejo con proyectiva componentes.
Para remediar esto, elegir un degreewise epimorphic cuasi-isomorfismo $p\colon P \to \operatorname{cone}(f)$ a partir de un complejo con proyectiva componentes $P$, y deje $q$ ser el pullback de $p$ a lo largo de la proyección $\operatorname{cyl}(f) \to \operatorname{cone}(f)$. Obtenemos el siguiente diagrama conmutativo:
$$
\begin{CD}
A @>i>> Q @>>> P \\
@| @V{\sim}VqV @V{\sim}VpV \\
A @>>> \operatorname{cyl}(f) @>>> \operatorname{cone}(f) \\
@| @V{\simeq}VV \\
A @>f>> B
\end{CD}
$$
Tenga en cuenta que las dos primeras filas son de corto exacta y vertical de mapas degreewise epimorphic y débiles de equivalencias (observar que $\operatorname{Ker}(q) = \operatorname{Ker}(p)$ es acíclicos).
Por lo tanto, el mapa de $i \colon A \to Q$ así construido es un cofibration y la composición de la $Q \to \operatorname{cyl}(f) \to B$ es un fibration y una débil equivalencia.
La segunda factorización es un poco más complicado. La idea principal es pasar a la "Eckmann-Hilton dual" de la construcción anterior (la asignación de cilindro es un homotopy push-out, su doble es un homotopy pull-back).
El trabajo duro es para mostrar que $f = qj$ donde $q\colon D \to B$ es un fibration y $j \colon A \to D$ es un degreewise monic de la cadena de homotopy equivalencia con contráctiles cokernel $E$.
Una vez que esta se muestra, se puede elegir un degreewise surjective mapa de $p \colon P \to E$ a partir de una contráctiles compleja $P$ con proyectiva componentes y forma el pull-back $Q = P \mathbin{\times_E} D$ antes de terminar para arriba con el de la factorización de la $f = (qr)k$ donde $k$ es un cofibration y una débil equivalencia y $(qr)$ es un fibration:
$$
\begin{CD}
A @= A @= A \\
@V{k}V{\sim}V @V{j}V{\sim}V @VV{f}V \\
Q @>r>> D @>q>> B \\
@VVV @VVV \\
P @>p>> E
\end{CD}
$$
El diagrama anterior es conmutativa y las dos primeras columnas son exactas y todos los mapas horizontales son fibrations.
Vamos a poner la reclamación de la factorización de $f\colon A \to B$ en un monic de la cadena de homotopy equivalencia $j \colon A \to D$, seguido por un fibration $q\colon D \to B$.
En un primer intento, nos factor de $f \colon A \to B$ $A \xrightarrow{i} C \xrightarrow{p} B$ donde $i$ es un débil equivalencia "cerca de un cofibration' y $p$ es un fibration. Aquí $C$ es una versión adecuada de la asignación de ruta de espacio " con el déficit que podría tener un valor distinto de cero de la entrada en grado $-1$. Explícitamente,
deje $C_n = A_n \oplus B_n \oplus B_{n+1}$ $d_{n}^C = \begin{bmatrix} d_{n}^A & 0 & 0 \\ 0 & d_{n}^B & 0 \\ f_n & -1 & -d_{n+1}^B \end{bmatrix}$ donde $C_{-1} = 0 \oplus 0 \oplus B_0$.
Es sencillo comprobar que el mapa de la cadena de $i \colon A \to C$ con
los componentes de la $\begin{bmatrix} 1 \\ f_n \\ 0 \end{bmatrix} \colon A_n \to A_n \oplus B_n \oplus B_{n+1}$ es una cadena de homotopy de equivalencia. Un homotopy inversa está dada por la proyección de $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ en el primer sumando de a $C$. También, el mapa de la cadena de $i$ es degreewise monic, y su cokernel puede ser calculada a ser el contráctiles compleja $\operatorname{cone}(1_{B[-1]})$
El extremo inferior de la factorización de $f$ tiene este aspecto (el de los complejos de ejecutar verticalmente y grados $2,1,0,-1$ se muestran):
$$
\begin{CD}
A_2 @>{\begin{bmatrix} 1 \\ f_2 \\ 0 \end{bmatrix}}>>
A_2 \oplus B_2 \oplus B_3 @>{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}>> B_2 \\
@VV{d{2}^A}V
@VV{\begin{bmatrix} d_{2}^A & 0 & 0 \\ 0 & d_{2}^B & 0 \\ f_2 & -1 & -d_{3}^B \end{bmatrix}}V
@VV{d{2}^B}V \\
A_1 @>{i_1}>>
A_1 \oplus B_1 \oplus B_2 @>{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}>> B_1 \\
@VV{d_{1}^A}V
@VV{\begin{bmatrix} d_{1}^A & 0 & 0 \\ 0 & d_{1}^B & 0 \\ f_1 & -1 & -d_{2}^B \end{bmatrix}}V
@VV{d_{1}^B}V \\
A_0 @>{i_0}>>
A_0 \oplus B_0 \oplus B_1 @>{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}>> B_0 \\
@VVV @VV{\begin{bmatrix} f_0 & -1 & -d_{1}^B \end{bmatrix}}V
@VVV \\
0 @>>> B_0 @>>> 0 \\
\hline\\
Un @>i>> C @>p>> B
\end{CD}
$$
Tenga en cuenta que $f = pi$ y $p$ es epimorphic en todos los grados.
Con el fin de deshacerse de la pieza en el grado $-1$, reemplazamos $C$ por su buena truncamiento $D = \tau_{\geq 0} C$, por lo que
$D_n = C_n = A_n \oplus B_n \oplus B_{n+1}$ $n \geq 1$ $D_0 = \operatorname{Ker}(d_0\colon C_0 \to C_{-1}) = A_0 \oplus B_1$.
La inclusión $D_0 \to C_0$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ f_0 & -d_{1}^B \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \colon A_0 \oplus B_1 \to A_0 \oplus B_0 \oplus B_1$.
Factoring todo a la vista de más de $D_0$, el extremo inferior de la secuencia $A \xrightarrow{j} D \xrightarrow{q} B$ resulta ser
$$
\begin{CD}
A_2 @>{\begin{bmatrix} 1 \\ f_2 \\ 0 \end{bmatrix}}>>
A_2 \oplus B_2 \oplus B_3 @>{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}>> B_2 \\
@VV{d{2}^A}V
@VV{\begin{bmatrix} d_{2}^A & 0 & 0 \\ 0 & d_{2}^B & 0 \\ f_2 & -1 & -d_{3}^B \end{bmatrix}}V
@VV{d{2}^B}V \\
A_1 @>{i_1}>>
A_1 \oplus B_1 \oplus B_2 @>{\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}>> B_1 \\
@VV{d_{1}^A}V
@VV{\begin{bmatrix} d_{1}^A & 0 & 0 \\ f_1 & -1 & -d_{2}^B \end{bmatrix}}V
@VV{d_{1}^B}V \\
A_0 @>>{\begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix}}>
A_0 \oplus B_1 @>>{\begin{bmatrix} f_{0} & -d_{1}^B \end{bmatrix}}> B_0 \\
\hline \\
Un @>j>> D @>q>> B
\end{CD}
$$
Observar que $q$ es un fibration (es un epimorphism excepto en el grado cero) y que $f = qj$.
Para finalizar, tenga en cuenta que $j$ es un degreewise monic de la cadena de homotopy equivalencia cuyo cokernel es el complejo de $E_n = B_{n} \oplus B_{n+1}$ en grados $n \geq 1$$E_0 = B_1$, el diferencial está dado por la matriz $\begin{bmatrix} d^{B}_n & 0 \\ -1 & -d^{B}_{n+1}\end{bmatrix}$.
Desde aquí es fácil ahora para escribir la compleja $Q$ explícitamente, pero se los dejo para el lector interesado.
