Cómo deducir que algo no seguir?

Question

Asumir que tengo fórmulas $H$, $P$ y $Q$. Además, supongamos que puedo mostrar en la lógica clásica que $P$ sigue de $H$:

$$H \vdash P$$

Y que la negación de la $Q$ sigue de $H$:

$$H \vdash \neg Q$$

Puedo, a continuación, saltar a la conclusión de que $Q$ no siga de $P$:

$$P\not\vdash Q \text{ ?} $$

Bye

Answer 1

No. Si $H$$0=1$, entonces usted puede deducir tanto $P$ y la negación de la $Q$$H$, incluso si, por ejemplo, $P=Q$.

Answer 2

Lo que se puede deducir es $$H \vdash (P \land \lnot Q),\quad\text{that is}\;\;\; H\vdash \lnot(P \rightarrow Q)$$

desde $ (P \land \lnot Q)\equiv \lnot(\lnot P \lor Q) \equiv \lnot (P\rightarrow Q)$

Answer 3

Si $H$ es consistente, entonces, sí. Asumen ante la contradicción de que este no es el caso, entonces la $P\vdash Q$.

1. $P\vdash Q$ implica $\vdash P\rightarrow Q$ usando el teorema de la deducción.
2. Por lo tanto,$H\vdash P\land P\rightarrow Q$.
3. Y por lo $H\vdash Q$.

Si $H$ es inconsistente (por ejemplo, $0=1$ o $\varnothing\in\varnothing$ tipo de cosas), el principio de explosión dice que todo es demostrable a partir de $H$.