Dejemos que $H$ y $E$ sean subgrupos normales de un grupo $G$ tal que $$G/H \cong E.$$ ¿En qué tipo de condiciones tendríamos también $$G/E \cong H?$$
Gracias.
Respuesta
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Esto es así si $G=H\times E$ Casi por definición.
Otro ejemplo es $G=H \rtimes H$ para que sea adecuado $H$ . $\mathbb{Z}$ funciona, por ejemplo, $$\langle a, b; aba^{-1}=b^{-1}\rangle$$ al igual que $C_6$ : $$\langle a, b; a^6, b^6, aba^{-1}=b^{-1}\rangle$$ como $Aut(C_6)\cong C_2$ (porque $\varphi(6)=2$ ). De hecho, cualquier grupo $H$ tal que $H\rightarrow Aut(H)$ funciona de forma no trivial.
Sería interesante ver si existen grupos (finitos) $H$ y $E$ y los homomorfismos $\phi$ y $\varphi$ tal que $H\rtimes_{\phi} E\cong H\ltimes_{\varphi} E$ . Sin embargo, aún no he encontrado ningún ejemplo...
