Dejemos que $M_1,M_2,M_3,M_4$ sea la suprema de $|f|$ en los bordes de un cuadrado. Demuestra que $|f(0)|\le \sqrt[4]{M_1M_2M_3M_4}$

Question

Dejemos que $G$ denotan el interior del cuadrado con vértices $1,i,-1,-i$ . Supongamos que $f$ es holomorfo en $G$ se extiende continuamente hasta $\overline{G}$ y $M_1,M_2,M_3,M_4$ son la suprema de $|f|$ en los bordes de $G$ . Demostrar que $$|f(0)|\le \sqrt[4]{M_1M_2M_3M_4}$$ Tengo una idea si asumimos $f$ nunca es cero. Por la fórmula de Schwarz-Christoffel, podemos mapear el ciclo unitario al cuadrado, fijando el origen y los vértices. Entonces definimos $h=f(g)$ y el registro $|h|$ tenemos log $|h(0)|={1\over{2\pi}}\int_0^{2\pi}$ registro $|h(e^{i\theta})|d\theta$ y entonces podemos obtener la desigualdad. Sin embargo, si $f$ es cero en alguna parte, no podemos definir log $h$ entonces estoy atascado.
Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Considere la función

$$g(z) = f(z)\cdot f(iz)\cdot f(-z) \cdot f(-iz).$$

$g$ es holomorfo en $G$ y se extiende continuamente hasta $\overline{G}$ y el máximo de $g$ en cada una de las aristas es como máximo $M_1\cdot M_2\cdot M_3\cdot M_4$ .

$g(0) = f(0)^4$ . El principio del módulo máximo hace el resto.