Revisa mis cálculos: Demuestra el límite $\lim\limits_{x\to -2} (3x^2+4x-2)=2$ utilizando la definición de $\epsilon, \delta$.

Question

Demuestra el límite $\lim\limits_{x\to -2} (3x^2+4x-2)=2$ usando la definición de $\epsilon,\delta$.

Precálculos

Mi objetivo es demostrar que para todo $\epsilon >0$, existe un $\delta > 0$, tal que $$0<|x+2|<\delta\ \ \text{implica}\ |3x^2+4x-2-2|<\epsilon$$

$|3x^2+4x-2-2|=|3(x+2)^2-8x-16|$

$=|3(x+2)^2-4(x+2)|$

$\leq3|x+2|^2+4|x+2|$ por la desigualdad del triángulo

$<3\delta^2+4\delta$

Por lo tanto, es suficiente mostrar que $3\delta^2+4\delta=\epsilon$

Prueba

Para todo $\epsilon>0$, elige $\delta=\min\left(\sqrt{\dfrac{\epsilon}{6}},\dfrac{\epsilon}{8}\right)$

$$\begin{align*}0<|x+2|<\delta\ \ \to\ \ &|3x^2+4x-2-2|<3\delta^2+4\delta\\&<3\left(\sqrt{\frac{\epsilon}{6}}\right)^2+4\delta\\&=\frac{\epsilon}{2}+4\delta\\&<\frac{\epsilon}{2}+4\frac{\epsilon}{8}\\&=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}\\&=\epsilon\end{align*}$$

¿Por lo tanto, demostrado? Jeje. No estoy seguro de si esto funcionará o no. Mis dudas están en los pasos.

Por lo tanto, es suficiente mostrar que $3\delta^2+4\delta=\epsilon$

elige $\delta=\min\left(\sqrt{\dfrac{\epsilon}{6}},\dfrac{\epsilon}{8}\right)$

Y hey, estoy buscando otras posibles formas de hacer esta pregunta también.

Answer 1

You made a mistake here:

$$|3x^2+4x-2-2|=|3(x+2)^2-8x-16|=|3(x+2)^2-4(x+2)|$$

It should be $\,8\,$ instead $\,4\,$ in the RHS. All the rest you did is fine, fixing this little mistake.

I show you now how'd I do it:

$$|3x^2+4x-2-2|=|3(x+2)^2-8(x+2)|=$$

$$|x+2|\,|3x-2|\stackrel{\text{for}\,|x+2|<0.5\Longrightarrow |3x-2|<10}<10|x+2|$$

Thus, we're fine if

$$10|x+2|<\epsilon\Longrightarrow |x+2|<\frac{\epsilon}{10}$$

Thus we can choose

$$\delta =\min\left(\frac{\epsilon}{10}\,,\,\frac{1}{24}\right)$$

Answer 2

Así es como lo haría:

Para cualquier $\epsilon>0$, elige $\delta=\min\left(1,\dfrac{\epsilon}{11}\right)$. Entonces:

$$\begin{align*} 0<|x+2|<\delta\ \ \implies\ \ |(3x^2+4x-2)-2| &= |3x^2+4x-4| \\ &= |3x-2||x+2| \\ &= 3\left|x-\frac{2}{3}\right||x+2| \\ &= 3\left|x+2-\frac{8}{3}\right||x+2| \\ &\le 3\left(|x+2|+\left|\frac{-8}{3}\right|\right)|x+2| \text{ }\text{ }\text{ por la desigualdad triangular}\\ &< 3\left(1 + \frac{8}{3}\right)|x+2| \text{ }\text{ }\text{ ya que }|x+2|<\delta\le1\\ &=11|x+2| \\ &<11\left(\frac{\epsilon}{11}\right) \text{ }\text{ }\text{ ya que }|x+2|<\delta\le\frac{\epsilon}{11}\\ &=\epsilon\end{align*}$$