Me encontré con que $2^2+3^3=31$ $31$ es un primo, también se $2^2+3^3+5^5+7^7$ es un primo. Después de estos sólo el primer que he encontrado es $2^2+3^3+5^5+7^7+11^{11}+\cdots+83^{83}+89^{89}$. Y lo he comprobado en $p(n)$$1009$, pero no pude encontrar otro de los primos de la forma $$ 2^2+3^3+5^5+7^7+11^{11}+\cdots+p(n-1)^{p(n-1)}+p(n)^{p(n)}. $$ ¿Hay alguna otra prime con esa forma?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jherico
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El estándar de la heurística para este tipo de cosas es esta.
Dado un (creciente) de la secuencia de $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ cuando no hay razón aparente para un número no primo o no considerar (como la probabilidad de que un número de un cierto tamaño aproximado $N$ es primo es $(\log N)^{-1}$)
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ \log a_n} $$
Si esto se junta no debe ser sólo un número finito de números primos en su secuencia.
Vamos a hacer esto para usted secuencia. Tenemos que $a_n \ge p_n^{p_n}$ y $p_n \sim n \log n $ déjenos estimación $a_n$ $(n \log n)^{n \log n}$ $\log a_n$ es de alrededor de $n (\log n)^2 $ I la caída de todos los términos de orden inferior).
La serie $$\sum_{n =2}^{\infty} \frac{1}{ n (\log n)^2 } $$ converge, por lo que esperamos que sólo un número finito de números primos en esa secuencia.
Por lo tanto, es concebible que usted los encontró a todos ellos, pero no es probable que ninguna manera de demostrar esto con la actual "tecnología". Tenga en cuenta que también existe ninguna prueba todavía que hay sólo un número finito de números primos de Fermat, que debería ser bastante fácil, ya que la secuencia crece más rápido y es generalmente más fácil de manejar.
Faiz
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1660
Si un número primo de la forma $$2^2+3^3+5^5+7^7+...+p^p$$ with $p>89$ existe, $p$ debe ser mayor que $8731$ y el número debe tener más de $34,000$ dígitos.
Los candidatos a $2^2+3^3+5^5+7^7+...+p^p$ (no el primer factor de $\le 104,729$) hasta $p=10^5$ son :
[7, 43, 89, 107, 193, 229, 251, 397, 433, 683, 701, 971, 1013, 1109, 1193, 1223, 1231, 1277, 1459, 1493, 1511, 1531, 1871, 2143, 2161, 2213, 2543, 2551, 2617, 2851, 2861, 3023, 3541, 3923, 3989, 4093, 4447, 4597, 4783, 4813, 5003, 5227, 5333, 5351, 5437, 5563, 5591, 5779, 5839, 6173, 7103, 7253, 7541, 7549, 7741, 7757, 7873, 8353, 8543, 8699, 8731, 8861, 9323, 9397, 9413, 9439, 9613, 9623, 9631, 9743, 9781, 9871, 10061, 10139, 10333, 10429, 10729, 10847, 10867, 11383, 11941, 11959, 12119, 12239, 12277, 12497, 12619, 12653, 12923, 13033, 13723, 13759, 13933, 13967, 14221, 14249, 14341, 14461, 14557, 14779, 14851, 14887, 15149, 15319, 15401, 15443, 15727, 15739, 15803, 16087, 16097, 16189, 16447, 17093, 17383, 17419, 17551, 17737, 17909, 18899, 18919, 19219, 19373, 19417, 19441, 19553, 19583, 19813, 19919, 20143, 20663, 21407, 22391, 22543, 22691, 22871, 22921, 23561, 23567, 23603, 23789, 24007, 24077, 24103, 24137, 24203, 24359, 24373, 24421, 24473, 25153, 25981, 26729, 26839, 26927, 26987, 27059, 27277, 27487, 27803, 27851, 27947, 28001, 28499, 28579, 28753, 29303, 29587, 29741, 29759, 29789, 29837, 29881, 30011, 30097, 30319, 30689, 31393, 31849, 32089, 32257, 32503, 32971, 33113, 33181, 33349, 33391, 33427, 33521, 33773, 33997, 34141, 34667, 34693, 34721, 34847, 35257, 35419, 35603, 36299, 36709, 37087, 37879, 38371, 38603, 38707, 39343, 39373, 40427, 40763, 40787, 41149, 41201, 41257, 41593, 41897, 41911, 42089, 42463, 42557, 43037, 43067, 43451, 43661, 43691, 43717, 44101, 44179, 44537, 44819, 45197, 45337, 45757, 45823, 46261, 46399, 46933, 47093, 47221, 47293, 47629, 47659, 47699, 47981, 48299, 48371, 48479, 48767, 49117, 49537, 49633, 49853, 49993, 50101, 50273, 50321, 50753, 50789, 51287, 51511, 51871, 52553, 52691, 52883, 53161, 53239, 53309, 53327, 54037, 54139, 54311, 55103, 55147, 55171, 55439, 55987, 56369, 56383, 56629, 56783, 56809, 57331, 57559, 57923, 58013, 58129, 58337, 58379, 58427, 58679, 59359, 59669, 60103, 60127, 60169, 60649, 60887, 61483, 61861, 62233, 62347, 62473, 62653, 62861, 62939, 62983, 63067, 63197, 63439, 63671, 63737, 63853, 64067, 64171, 64237, 64579, 64661, 64763, 65089, 65147, 65407, 65449, 65951, 65983, 66643, 67121, 67169, 67531, 67763, 68281, 68881, 69557, 69763, 69991, 70451, 70501, 70573, 70627, 71209, 71237, 71633, 71707, 71741, 71821, 71879, 71887, 72341, 72937, 73091, 73459, 73643, 73973, 74027, 74149, 74203, 74363, 74653, 74891, 74941, 75017, 75109, 76597, 76847, 76919, 77317, 77339, 77369, 77699, 78301, 78583, 78607, 78781, 78877, 78929, 79193, 79241, 79393, 79433, 79609, 79769, 80147, 80513, 80629, 80761, 80963, 81083, 81409, 81569, 82037, 82301, 82339, 82393, 83117, 83311, 83341, 83621, 83701, 84503, 84967, 85009, 86413, 86693, 86851, 87013, 87071, 87151, 87277, 87629, 88007, 88321, 88379, 88547, 88609, 89209, 89393, 89431, 89477, 89561, 89597, 89627, 89939, 89983, 90397, 90709, 91457, 91631, 91961, 92033, 92179, 92233, 92363, 92801, 92927, 93047, 93133, 93887, 94063, 94307, 94793, 94873, 95561, 95621, 95701, 95957, 95971, 96149, 96167, 96323, 96461, 96589, 96667, 96697, 96823, 96847, 96979, 97021, 97073, 97649, 97871, 98347, 98429, 98621, 98993, 99347, 99377, 99719]
He utilizado este PARI/GP-programa para la búsqueda :
? s=0;p=1;while(p<10^5,p=nextprime(p+1);s=s+p^p;if(gcd(s,u)==1,print1(p," ");if(
ispseudoprime(s,1)==1,print;print("********************",p);print)))
7
********************7
43 89
********************89
107 193 229 251 397 433 683 701 971 1013 1109 1193 1223 1231 1277 1459 1493 1511
1531 1871 2143 2161 2213 2543 2551 2617 2851 2861 3023 3541 3923 3989 4093 4447
4597 4783 4813 5003 5227 5333 5351 5437 5563 5591 5779 5839 6173 7103 7253 7541
7549 7741 7757 7873 8353 8543 8699 8731 8861 9323
