Demostrando Desigualdades en el uso de la Inducción

Question

Soy bastante nuevo para escribir pruebas. Recientemente he estado tratando de abordar las pruebas por inducción. Estoy teniendo un tiempo difícil de aplicar mis conocimientos de cómo funciona la inducción a otros tipos de problemas (divisibilidad, las desigualdades, etc). He estado revisando el otro inducción preguntas en este sitio web, pero ellos se mueven demasiado rápido o no explicar su razonamiento detrás de sus pasos suficiente y me terminan por no ser capaz de seguir la lógica.

Yo no entiendo cómo para hacer frente a un problema que involucra una suma. Esta es la que yo acabo de hacer (el clásico "poco de gauss" la prueba):

Demostrar $1+2+3+\dots+n = n(n+1)/2$

I. Base
$1=(1+1)/2$
$1=1$

II. Inducción

Suponga que la expresión es una arbitraria $n=k$ tal que $1+2+3+\dots+k = k(k+1)/2$

Muestran que la expresión es de $n=k+1$ $1+2+3+...+n+k+(k+1) = k+1[(k+1)+1]/2$

Y esto se hace principalmente mediante la observación de que ya tenemos un fórmula 1 a través de k en el lado izquierdo, de manera que la ecuación puede escribirse como

$k(k+1)/2 + (k+1) = k+1[(k+1)+1]/2$
NOTA: creo que este es el uso de la hipótesis inductiva. Por favor me corrija si estoy equivocado.

De todos modos, la búsqueda de denominadores comunes en el lado izquierdo y distribución en el derecho, que, finalmente, demostrar que es cierto. Este (hasta ahora) ha trabajado para cada prueba he intentado que implica una suma en el lado izquierdo.

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Ahora, empiezo a perder cuando los cambios de formato. Por ejemplo, esta desigualdad prueba estoy tratando de escribir. Voy a publicar lo que tengo aquí:

$n^2 \ge 2n$ todos los $n>1$

I. Base
$2^{2} \ge 2(2)$
$4 \ge 4$

II. Inducción

Suponga que la desigualdad se cumple para un arbitrario $n=k$, de tal manera que
$k^2 \ge 2(k)$

Muestran que la expresión es de $n=k+1$ tal que
${k+1}^2 \ge 2(k+1)$

Aquí es donde me pierdo. Sé que voy a invocar la IH en algún lugar de la expresión, pero a diferencia de la sumatoria problema anterior, no estoy seguro de por dónde empezar. Podría alguien me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

Inducción de la hipótesis no es $2^k\geq 2k$ pero $k^2\geq 2k$. Entonces, para $P(k+1)$, tenemos que demostrar $(k+1)^2\geq 2(k+1)$.

Prueba:

$(k+1)^2=k^2+2k+1$ pero $k^2 \geq 2k$ (IH) $\implies k^2+2k+1\geq (2k+2k+1=4k+1)\geq 2k+2$$k\geq 1\implies (k+1)^2\geq 2(k+1)$. Por lo tanto ,$P(k+1)$ es verdadera siempre que $P(k)$ es cierto. Desde $P(1)$ es cierto $\implies P(n)$ es cierto $\forall n\in \Bbb Z^+$.

Answer 2

Tenemos que demostrar a $2^n \geq 2n$ $n>1$
Base:
$n=2$ que satisface la anterior relación.

Inducción hipótesis:
Aquí se supone que la relación es verdadera para algunos $k$ es decir $P(k)\colon 2^k \geq2k$.

Ahora tenemos que demostrar que la relación tiene también para $k+1$ usando la hipótesis de inducción. Esto significa que tenemos que demostrar $$P(k+1)\colon 2^{k+1} \geq 2(k+1)$$ Así que el general de la estrategia es reducir las expresiones en $P(k+1)$ a los términos de $P(k)$. Así,
$$2^{k+1}=2^k\cdot 2=2^k+2^k \geq2^k+2 \quad \quad \{\text{Since }n>1\}$$ Ahora vamos a utilizar la inducción de la hipótesis de que la $2^k\ge 2k$ lo que nos da $$ 2^{k+1}\geq 2^k+2 \geq 2k+2 =2(k+1)$$ que se requiere. Por lo tanto hemos demostrado $P(k+1).$