Conmutatividad de la multiplicación en $\mathbb{N}$

Question

Estoy tratando de demostrar que $a\cdot b=b\cdot a$ al $a$ $b$ son dos números naturales.

En el resto de esta pregunta estoy usando $a'$ para el sucesor de $a$.

Además se define como:

• $a+0=a$
• $a+b'=(a+b)'$

La multiplicación se define como:

• $a\cdot 0=0$
• $a\cdot b'=a+ab$

Ya he probado conmutatividad y asociatividad de la suma. También demostró que el $a\cdot 1=1\cdot a=a$.

He probado con la inducción en $b$. Me puede mostrar fácilmente que $a\cdot 0=0\cdot a$. Entonces supongo $a\cdot b=b\cdot a$ y tratamos de demostrar que $a\cdot b'=b'\cdot a$.

Aquí ya no puedo ir. El principal problema es que no puedo usar la distributividad leyes ya que no he probado todavía. Espero hacerlo inmediatamente después de que este problema se ha solucionado. También, $b'\cdot a$ es problemática debido a que $b'$ está a la izquierda.

Cualquier sugerencias?

Answer 1

Asumir la conmutatividad de los productos $ab$, $ab'$ y $a'b$. A continuación, puede reescribir $b'a'$ $a'b'$ en términos de $a$, $b$ y $ab$ el uso de conmutatividad y asociatividad de la suma y de la inducción de la hipótesis a demostrar que son iguales. Estaré encantado de poder dar más detalles, pero usted pidió sugerencias.

Answer 2

Esto es lo que yo haría, en tres pasos.

1. Demostrar $0=m\cdot 0=0\cdot m$ todos los $m\in\omega$. Como usted dijo, usted puede fácilmente demostrar esto.

2. Demostrar $m'n=mn+n$ todos los $m,n\in\omega$. Podemos hacer esto por inducción. Vamos $$ K=\{n\in\omega\ |\ m n=mn+n\} $$ Por definición, $m'\cdot 0=0$, e $m\cdot 0+0=0+0=0$, lo $0\in K$. Supongamos $n\in K$. Entonces $$ m n'=m'+m n=m'+mn+n=m+mn+n'=mn'+n' $$ donde he utilizado el segundo de los hechos que se enumeran para la adición y la multiplicación, y supongo que usted sabe $a'+b=(a+b)'=a+b'$, que es generalmente utilizado para demostrar la conmutatividad de la suma. Por lo $n'\in K$.

3. Ahora podemos probar a $mn=nm$ todos los $m,n\in\omega$. Deje $S=\{m\in\omega\ |\forall_{n\in\omega}\ mn=nm\}$. Por El Paso 1, $0\in S$. Deje $m\in S$. Entonces $$ m n=mn+n=nm+n=n+nm=nm' $$ por lo $m'\in S$, lo $S$ es inductivo, y $S=\omega$.