Si $\gcd(a,35)=1$, a continuación muestran que la $a^{12}\equiv1\pmod{35}$
He tratado este problema que comienzan con $a^6 \equiv 1 \pmod{7}$ $a^4 \equiv 1 \pmod{5}$ (Teorema de Fermat), pero no podía conseguir lo suficiente. Por favor, ayudar.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Desde $\gcd(a,7) =\gcd(a,5) = 1$, a partir del teorema de Fermat,
$$a^6\equiv 1\pmod7 \quad \text{ y } \quad a^4\equiv1\pmod5.
$$
Por lo tanto,
$$ a^{12}\equiv 1\pmod7 \quad \text{ y } \quad a^{12}\equiv1\pmod5.
$$
Esto significa que
$$7\mediados de los a^{12}-1 \quad\text{ y } \quad 5\mediados de los a^{12}-1.
$$
Desde $\gcd(7,5)=1$,
$De$35\mediados de los a^{12}-1,
$$
es decir,
$$
a^{12}\equiv1\pmod{35}.
$$
Mike
Puntos
11
Una manera de hacer esto es utilizar Euler totient teorema. Usted está familiarizado con Fermat poco teorema, y esta es una versión generalizada. Este enfoque es más extensa, pero instructivo, porque demuestra que la totient función no siempre te dan el mínimo exponente. Para obtener más información, consulte aquí.
Del teorema, sabemos
$$a^{\phi(35)} \equiv_{35} 1$$
Un simple cálculo muestra que $\phi(35)=24$ (esto puede ser reducido si usted sabe más acerca de la $\phi$ función).
Así tenemos
$$a^{24}\equiv 1. $$
En general, si $k^2\equiv 1$, vemos a $(k-1)(k+1)\equiv 0$, lo $k\equiv 1$ o $k\equiv -1$ (Usted necesita pensar por un momento para ver que otros casos se descartó, ya que no se trata de una integral de dominio). Aplicando esto a lo anterior, se debe hacer una vez que descartamos el caso
$$a^{12}\equiv -1.$$
En particular, se necesitaría $(a^6)^2$ $-1$ mod $35$. Para mostrar $-1$ no es un cuadrado mod $35$, es suficiente para mostrar que no es un cuadrado mod $7$ (si $a^2$ -1 mod 35, el mismo $a$ mod 7 produciría $a^2\equiv -1$ mod 7).
Y es fácil ver por la comprobación de todas las posibilidades que $-1$ no es el cuadrado de cualquier número, cuando se la considera modulo 7.
