El límite de $\tan(n)$

Question

Sé que el $\lim_{x\rightarrow\infty}\tan(x)$ no existe. Ahora mi pregunta: Es la secuencia de las $\tan(n)$ convergente para $n\in\mathbb N$?

Answer 1

Yo reclamo que $\tan(n)$ no es convergente. Asumir al contrario $\lim \tan(n)=l$.

Podemos utilizar la siguiente trigonometría identidad $\tan(n+1)=\frac{\tan(n)+\tan(1)}{1-\tan(n)\tan(1)}$. Así tenemos a $l=\frac{l+s}{1-ls}$ donde$\tan(1)=s$$l-l^2s=l+s$. No es difícil ver que $s(1+l^2)=0$ y así una contradicción.

Answer 2

El período de $\tan x$$\pi$. Nota: $\tan x$ tiene valores no definidos en $\pi/2 + k\pi$, los valores cero en$k\pi$$k \in \mathbb{Z}$, y los suplentes en señal entre estos múltiplos enteros de $\pi/2$. Desde $1 \lt \pi/2$, e $\pi/2$ es irracional, la secuencia de $\{\tan(n)\}$ va a cambiar de signo infinitamente a menudo (porque el tamaño del paso de $1$ es demasiado pequeño para que nos vayamos valores negativos de $\tan n$ sin alcanzar valores positivos por delante, y a la inversa).

En tal caso, el único límite posible es $0$. Pero esto es fácil de descartar así, ya que si $\tan n$ es cercana a cero, a continuación, $n$ está cerca de algunos $k\pi$. Entonces, mirando a la suma del ángulo de la fórmula para $\tan$ citado por @BabakMiraftab, $\tan(n+1)$ estará cerca de $\tan 1$ $\tan(n-1)$ estará cerca de $-\tan 1$. Desde $\tan 1$ no es cero, no hay límite.