No algebraicamente cerrado, campo en el que cada polinomio de grado $<n$ tiene una raíz

Question

Mi problema es construir, para cada prime $p$, un campo de característica $p$, en la que cada polinomio de grado $\leq n$ ($n$ fijos de un número natural) tiene una raíz, pero tal que el campo no es algebraicamente cerrado.

Si no estoy equivocado (por favor corríjanme si estoy) un campo no puede ser finito, por el recuento de los argumentos. Pero, por otro lado, la unión de todos los campos finitos (o de cualquier ascendente de la cadena de campos finitos) de la característica $p$, que es lo que me pasa si me pongo con $F_p$ y añadir una raíz para cada polinomio de grado $\leq n$ en cada paso, es la clausura algebraica de $F_p$, por lo tanto algebraicamente cerrado. No veo cómo puedo controlar este proceso para que al final tengo un campo que no es algebraicamente cerrado.

Cualquier sugerencia será bienvenida. Gracias de antemano.

Answer 1

Me voy a dar una sugerencia, y no una respuesta. La mejor ruta para la comprensión de aquí es el uso de la Teoría de Galois. El total del grupo de Galois de un campo finito $k$, es decir, el grupo de la algebraicas cierre de más de $k$$\hat{\mathbb Z}$, el profinite la terminación de los números enteros. Es topológicamente generado por el solo automorphism, el Frobenius de $k$. Para entender $\hat{\mathbb Z}$, utilice el Teorema del Resto Chino, y se ve que es el producto directo de todos los grupos de ${\mathbb Z}_p$, $p$ ejecuta a través de todos los números primos. Usted tomar desde allí.

Answer 2

Si usted comienza con un campo de tamaño q, y lindan con una raíz de (todos) los mínimos cuadráticos, se obtiene un campo de tamaño de $q^2$.

Empezar con $q=2$, y se obtiene 2, 4, 16, 256, etc. Ninguno de estos campos contiene una raíz de una irreductible cúbicos sobre el campo original (con $q=2$, lo que requeriría un campo cuyo tamaño era de una potencia de 8).

En otras palabras, usted no obtener la expresión algebraica de cierre, ya que para cualquier prime r mayor que n, no se obtienen las raíces de cualquier polinomios irreducibles de grado r.

Como Lubin menciona, esto es equivalente a tomar una Sylow pro-2-subgrupo del grupo de Galois de la algebraicas cierre, y supongo que en general desea una Sala de pro-n-subgrupo del grupo de Galois, pero yo prefiero pensar solamente en repetidas ocasiones el cuadrado de un número.