Una función para la cual el método de Newton-Raphson el método converge lentamente?

Question

Estoy haciendo una asignación de MATLAB en el que trabajar y poner en práctica una mejor versión de Newton-Raphson el uso de un segundo grado del polinomio de Taylor en lugar de un título de grado uno. Tengo el algoritmo trabajado y se está trabajando bien. La segunda parte de la tarea es el estudio de la orden de convergencia empíricamente. El problema es que con todas las funciones que he encontrado hasta el momento se presenta una muy buena respuesta después de sólo 2-4 iteraciones que no me da muy fiable motivos para el análisis de la orden de convergencia.

Puede usted ayudarme a encontrar con una función que la N-R método funciona bastante mal, así que, para empezar, algunos de valor, lleva más iteraciones para llegar a un buen valor?

Answer 1

El método de Newton puede quedar atrapada en un ciclo periódico. Pruebe por ejemplo,$f(x)=x^3-x-3$$x_0=0$. Para otros ejemplos, ver

• http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/3/newton.3/newton.html
• http://www.faculty.umassd.edu/adam.hausknecht/temath/TEMATH2/Examples/NewtonsMethod.html

Answer 2

Como lhf señala, no es difícil producir ejemplos en los que el Método de Newton realiza mal -- escoja una función cuya derivada se desvanece cerca de la raíz, o cuya segunda derivada es ilimitado cerca de la raíz. O elegir una estimación inicial lejos de la raíz.

Sin embargo, el estudio de tales ejemplos es contraproducente si usted está tratando de determinar su orden de convergencia: la razón por la que el método tiene un mal rendimiento en las esquinas de los casos es debido a que violan las hipótesis necesarias para garantizar la típica convergencia!

En otras palabras, para determinar el orden de convergencia del método de Newton empíricamente, usted debe estudiar la mejor, caso habitual, no los degenerados casos en que el método converge lentamente (y en el que su método tiene problemas así.) Si utiliza números de precisión doble usted debe tener suficientes dígitos para la estimación de la orden.