Cómo probar que todas las potencias impares de dos agregan uno son múltiplos de tres

Question

Por ejemplo \begin{align} 2 ^ 5 + 1 y = 33\\ 2 ^ {11} + 1 & = 2049\ \text {(dividiendo $3$ da $683$)} \end{align}

Sé que $2 ^ {61}-1$ es un número primo, pero ¿cómo pruebo que $2 ^ {61} + 1$ es un múltiplo de tres?

Answer 1

Desde $2 \equiv -1 \pmod{3}$, por lo tanto $2 ^ {k} \equiv (-1) ^ k \pmod{3}$. Cuando $k$ es impar esto se convierte en $2 ^ k \equiv -1 \pmod{3}$. Por lo tanto 2 ^ k + 1 \equiv 0 \pmod{3}$.

Answer 2

Una alternativa directa a la respuesta mediante congruencias es tener en cuenta que para $k$ impar tiene la conocida identidad polinómica $$ x ^ {k} + 1 = (x + 1) (x ^ {k-1 -} x ^ {k-2} + \dots - x + 1), $$ y luego sustituir $x = 2$.

Answer 3

Otra forma es por inducción:

$$ 2 ^ 1 + 1 = 3 = 3 \cdot 1 $$

Entonces, si 2 ^ k + 1 = 3j, j \in \mathbb{N}$, entonces

\begin{align} 2 ^ {k + 2} + 1 y = 4\cdot2 ^ k + 1 \\ & = 3 4(2^k+1) \\ & = 4 (3j) \qquad \leftarrow \text{uses-3 hipótesis de inducción} \\ & = 3(4j-1) \end{align}

Answer 4

Uno de sus ejemplos es que $2^{11} + 1$ es divisible por $3$. Investigamos como sigue:

Consideremos, en lugar de recaudar $2$ para un incluso poder y restar $1$. Y, a continuación, háganoslo factor.

Ejemplo: $2^{10} - 1 = (2^5 - 1)(2^5 + 1)$.

Entre cualquiera de las tres números enteros consecutivos, exactamente uno de ellos debe ser divisible por $3$.

Claramente $2^5$ no es divisible por $3$, por lo que su predecesor o sucesor es divisible por $3$.

Es decir, $2^5 - 1$ o $2^5 + 1$ es divisible por $3$, de donde su producto es, así.

Bien: Su producto es $2^{10} - 1$, que se han establecido ahora es divisible por $3$.

Este número es todavía divisible por $3$ después de ser doblado, y todavía divisible por $3$ cuando añadimos $3$.

Así: Tenemos que $2(2^{10} - 1) + 3 = 2^{11} - 2 + 3 = 2^{11} + 1$ es divisible por $3$ como se desee.

Una similar poco de razonamiento alrededor de $2^{2k} - 1$ de los rendimientos de la afirmación en la mano. "CQD"

Answer 5

$2 = 3-1$

$2^k = (3 - 1)^k = 3^k - k*3^{k - 1} ..... = \sum_{n = 0}^k {k \elegir n}3^{k - n}(-1)^n = \sum_{n = 0}^{k - 1} {k \elegir n}3^{k - n}(-1)^n + {k \elegir 3}3^{k - n}(-1)^k = \sum_{n = 0}^{k - 1} {k \elegir n}3^{k - n}(-1)^n \pm 1$

Desde $k$ es impar:

$2^k = \sum_{n = 0}^{k - 1} {k \elegir n}3^{k - n}(-1)^n - 1$

$2^k + 1 = \sum_{n = 0}^{k - 1} {k \elegir n}3^{k - n}(-1)^n = 3\sum_{n = 0}^{k - 1} {k \elegir n}3^{k - n - 1}(-1)^n$

que es un múltiplo de 3.