Enfoque ingenuo para Pitágoras

Question

El siguiente ha ocupado de mí, mientras que el aprendizaje acerca de la $a^2+b^2=c^2$, luego se olvidó de todo eso y recientemente (40yrs después) encontré de nuevo - y todavía soy incapaz de entender. Pero hoy mi siguiente pensamiento fue para discutir el asunto aquí y estoy seguro de que podemos trabajar rápidamente! :-)

Por desgracia, mi gráfica habilidades son peores que mis matemáticas, así que voy a tratar de describir mi idea textwise aquí, espero que mis conocimientos de inglés va a ser lo suficientemente bueno.

Supongamos que tenemos un triángulo con los ángulos $A$,$B$,$C$ ($A$ en la parte superior, $C$ $90°$ $B$ a la derecha) y las líneas de conexión se denomina con la letra minúscula el nombre de la oposición ángulo. Lo siento por no uso de terminología apropiada, he estado fuera de la geometría durante demasiado tiempo :((

La idea es que el $c$ es igual a la distancia de $A$$B$, y para determinar que la distancia puede (en lugar de el uso de la vía directa $c$) viajan a lo largo de $b$, $a$ y llegar a $B$. De manera que la distancia es $a+b$.

Obviamente estamos yendo demasiado lejos esta manera, así que vamos a intentar mejorar la ruta por la "creación de escaleras". Bajamos b, pero después de la mitad del camino giramos a la derecha y caminar hald la distancia antes de girar de nuevo. Así, de esta manera la distancia es de ${a\over2}+{b\over2}+{a\over2}+{b\over2}$ o $a+b$.

Y aquí está el punto de no llegar: siguiendo esta idea, podemos crear un número infinito de pasos, abajo a la anchura de un átomo, que se acercan a la línea de longitud mínima ($=c$) hasta que se convierten en uno. Pero aún así: calcular la longitud de acuerdo con ese enfoque, se acabaría con $a+b$ nuevo! Entonces, ¿dónde está mi culpa???

Answer 1

Cada ruta con un número finito de pasos tiene un número finito de pequeño se menea, con el tamaño de este último es inversamente proporcional al número. Así que, en un sentido informal, el "límite de ruta" tiene infinidad de infinitesimalmente pequeño meneos, de tal manera que la cantidad total de "meneo" es positivo, pero finito.

Answer 2

Se han redescubierto una de las paradojas de los límites, es decir, que una secuencia de caminos en el plano puede converger a un límite ruta de acceso en el sentido de que la distancia máxima a la que el límite de ruta desde cualquier punto de tu ruta converge a cero, sin embargo, las longitudes de los caminos no convergen a la longitud del límite de ruta.

Para decirlo simplemente, el desvío a través de $C$ da un camino más largo a la ruta directa de$A$$B$; y tomando muchos de los pequeños desvíos pueden ser tan malo como teniendo un gran desvío.

Hay muchas pruebas del Teorema de Pitágoras si usted está interesado (Teorema de pitágoras Prueba Sin Palabras 6 es un ejemplo interesante, y hay varios otros que bajo la pregunta ¿Cuál es la más elegante de la prueba del teorema de Pitágoras?), pero esto parece ser una cuestión diferente.

Answer 3

La razón por la que mantener en llegar a + b como una consecuencia es que la fórmula que explica su procedimiento es el siguiente:

Deje que n sea el número de pasos $$ c = {\frac {a*n}{n}}+{\frac {b*n}{n}} $$

Con n=2 tenemos el primer ejemplo. El más grande de n, el más pequeño es el paso, pero la mayor es la cantidad de pasos. Si se aproxima a infinito, tenemos su "número infinito de pasos, abajo a la anchura de un átomo" concepto.

No importa cómo de grande n es, el resultado final siempre será a+b. Para explicar conceptualmente, lo que hizo fue tomar una longitud, se divide en partes iguales y luego se multiplica de nuevo por el número de partes que se divide, pero que siempre será el rendimiento de la longitud original como resultado.

Answer 4

En el plano tenemos la noción de distancia $d(X,Y)$ entre dos puntos cualesquiera $X$$Y$. Esta distancia es de aquí desde Euclides; puede ser medido con una escala de la regla en una décima de segundo, y no hay infinitary procedimiento de que se trate con tal de medición.

La "paradoja" que está describiendo sólo reveils que su proceso no coger esta noción de distancia. Pero la siguiente es cierto: Cuando los dos puntos de $X$ $Y$ están muy separadas, y la regla es corto para medir el $d(X,Y)$ en un solo movimiento, se puede conectar $X$ $Y$ con un rayo láser y, a continuación, medir distancias entre los subsiguientes puntos intermedios $$X=P_0-P_1-P_2-\ldots -P_n=Y$$ a lo largo de este rayo. En la final de la fórmula $$d(X,Y)=\sum_{k=1}^n d(P_{k-1},P_k)$$ de hecho es cierto.

Answer 5

En primer lugar, una explicación de por qué la diagonal es, de hecho, el límite de la stairstep curvas. La idea con un límite de una secuencia es que, dada una cierta cantidad de error que está dispuesto a tolerar ( $\varepsilon$ ), hay algunas índice después de que las cosas en la secuencia son "suficientemente bueno". En este caso, cuando hay $n$ escalones permanecen dentro de $\frac{a+b}{n}$ de distancia de la diagonal (estoy siendo conservador aquí), así que cuando $n>N$$N=\frac{a+b}{\varepsilon}$, el error será en la mayoría de las $\varepsilon$. Para reiterar, que nos dicen que la diagonal es el límite de la secuencia de escalones límites, ya que obtener arbitrariamente cerca de la diagonal, donde $\varepsilon$ parametriza la cercanía. Parece que ya intuitivamente se entiende esto, pero esta es un poco más formal manera de mirarlo.

Sin embargo, el límite no es necesariamente un elemento de una misma secuencia. Por la diagonal, usted puede conseguir siempre los escalones más cerca del límite por el aumento de $n$ (que es la prueba de que la diagonal no es un montón de escaleras).

Un simple ejemplo para entender esto podría ser $f(x)=\lim_{a\to\infty}e^{-ax^2}$ (enlace). Esta función es cero para todos los $x$ con la excepción de $f(0)=1$. Podríamos considerar el análisis de la secuencia de $f(\frac{1}{1}),f(\frac{1}{2}),\dots,f(\frac{1}{n}),\dots$, y la observación de que es $0,0,0,\dots$, entonces la conclusión "$f(\frac{1}{\infty})=0$". Sin embargo $f(0)=1$.

Moral: el límite de la necesidad de no ser como los demás.

Extensión: funciones continuas se definen como aquellas funciones donde el límite es como los demás. Cuando una función $f$ es continua, $\lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x))$ (siempre y cuando el límite interior existe). El stairstep secuencia demuestra que la arclength función de no satisfacer este límite de intercambio.

Elaboración: otra forma de medir la arclength es, para cada una de las $n$, anote el número mínimo de discos de diámetro $\frac{1}{n}$ que la cubierta de la curva, se suman el número de diámetros de los discos, se llevó a cubierta, a continuación, tomar el límite de $n$ enfoques infinito. Si el arclength fueron, de hecho,$a+b$, entonces tomaría al menos $n(a+b)$ discos de radio $\frac{1}{n}$ para cubrir la diagonal, pero se puede hacer mucho mejor que eso.