¿Cuál es la diferencia entre la solución implícita y explícita de un problema de valor inicial? Por favor, explique con un ejemplo ambas soluciones (implícita y explícita) del mismo problema de valor inicial. O sin un ejemplo pero de alguna manera que sea comprensible.
gracias
Según lo solicitado:
Utilicemos el problema del valor inicial de ejemplo
$$y^\prime y=-x,\qquad y(0)=r, \qquad r\text{ constante}$$
Se puede derivar tanto una solución implícita como explícita para esta DE. La solución implícita a esta DE es
$$x^2+y(x)^2=r^2$$
Esta solución implícitamente define $y(x)$; todo lo que tenemos aquí es una ecuación que involucra a $y(x)$. Por otro lado, la solución explícita se ve así
$$y(x)=\pm\sqrt{r^2-x^2}$$
y en este caso, $y(x)$ está explícitamente definido: $y(x)$ se expresa aquí como una función explícita con $x$ como la única variable independiente.
No siempre tenemos tanta suerte al resolver ecuaciones diferenciales que surgen en la práctica. A menudo sucede que solo podemos conformarnos con una solución implícita (o una solución paramétrica, que es un estado algo mejor que tener solo una solución implícita). Un ejemplo famoso es la ecuación diferencial que surge en el problema de la braquistócrona:
$$(1+(y^\prime)^2)y=r^2$$
Estoy preguntándome cuál es el beneficio de una función implícita... Si sabemos que la solución de una EDO tiene que satisfacer alguna ecuación $f(x,y)=0$, ¿cuál es entonces la ventaja?
Una solución explícita es una solución donde la variable dependiente puede ser separada. Por ejemplo, $x+2y=0$ es explícito porque si y es la variable dependiente, puedo reescribirlo como $y=-\frac{x}{2}$ y mi y ha sido separada.
Implícita es cuando la variable dependiente no puede ser separada como $\sin(x+e^y)=3y$.
Estrictamente hablando (incluso como se menciona en la respuesta aceptada) $y+2y=0$ es una solución implícita, la cual puede ser convertida en la forma explícita $y=-\frac{x}{2}$
Consideremos una ecuación diferencial $$ x +yy' =0 \label{1}\tag{1} $$ Ahora, la relación $x²+y² -25 =0$ es una solución implícita de la ecuación anterior para todo $x\in(-5,5)$. Esta relación define dos funciones reales $f_1(x) =\sqrt{25 -x^2}$ y $f_2(x) = -\sqrt{25 -x²}$ en el intervalo $x\in(-5,5)$: aquí $f_1,f_2$ son soluciones explícitas de la ecuación diferencial.
Ahora es bastante fácil entender qué son las soluciones implícitas y explícitas?
Solución implícita significa una solución en la cual la variable dependiente no está separada y explícita significa que la variable dependiente está separada.
Ahora considera la relación $$ x² +y² +25 =0 $$ También es una solución implícita de la ecuación diferencial \eqref{1}?
La respuesta es 'No': formalmente es solución de la ecuación \eqref{1} pero no implícitamente porque no será identicamente cero para ningún valor real de $x,y$. Precisamente si la escribes en la forma $$ y = -\sqrt{-25 -x^2}\:\text{}. $$ siempre obtendrás un $y$ imaginario para todos los $x$ reales.
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Antes que nada: ¿De dónde encontraste estos términos? (Estoy tratando de determinar cómo responder adecuadamente a tu pregunta para satisfacerte.)
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Estos son términos comunes en ecuaciones diferenciales
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Está bien. Tomemos por ejemplo la ecuación diferencial $y^\prime y=-x$ con condición inicial $y(0)=r$. La solución implícita de esta ecuación diferencial es $x^2+y(x)^2=r^2$; aquí $y(x)$ está definido implícitamente. Las soluciones explícitas lucen así $y(x)=\pm\sqrt{r^2-x^2}$; la solución es "explícita" en el sentido de que la expresión para $y(x)$ puede ser expresada completamente en términos de $x$. Aquí tenemos suerte de obtener una solución explícita ya que sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas; a menudo sucede que solo podemos estar contentos con una $y(x)$ expresada de forma implícita, como en el caso de $y(x)-\varepsilon\sin(y(x))=x"...
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Si escribes esta solución en respuesta, podré aceptarla y eso te dará puntos. :) Y gracias por tu amable esfuerzo
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A veces resuelves una ecuación diferencial, y la respuesta es algo del tipo: $y+x=\sin(xy)$. Aunque aún no sepas exactamente (es decir, explícitamente) cuál es $y, esta relación generalmente proporciona suficiente información para responder a muchas preguntas sobre $y. Si puedes encontrar la solución como $y=f(x)$, eso es lo mejor siempre, pero si no puedes, una ecuación entre $x,y sigue siendo mucho mejor que nada.
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Durante mi asignación, estaba elaborando una solución y me encontré con estos términos, vi que en general estos dos son similares, entonces ¿dónde está la diferencia? ¿Es simplemente cuestión de escribir la solución final de manera diferente o en realidad el procedimiento para encontrar la solución implícita o explícita es diferente?