Es este un problema abierto?

Question

Se me ocurrió la siguiente pregunta. Yo no podía encontrar una manera de resolver, y no he visto en ningún sitio también. Es este un problema abierto?

Enunciado del problema: Considerar un número primo p. Considerar todos los números como un factor. En repetidas ocasiones la suma de los dígitos de los números hasta obtener un número menor o igual a p. En esta secuencia, que nunca vas a conseguir un p? Se garantiza que usted consigue para los distintos valores de p (las más grandes)?

Por ejemplo, una "suma" se define como la aplicación de + juntos en todos los dígitos y obtener el número resultante. Aplicar la "suma" de nuevo sobre ella, si es mayor que p, por supuesto.

Gracias Salahuddin

Answer 1

Deje $p$ ser un primer distinta de $2$ o $5$. Por el Teorema de Fermat, $10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$. Tenga en cuenta la suma $$N=1+10^{p-1}+10^{2(p-1)}+10^{3(p-1)}+\cdots +10^{(p-1)(p-1)}$$ (nota: hay un total de $p$ términos). Cada término de la suma es congruente a $1$ modulo $p$, lo $N\equiv 0\pmod{p}$. Y la suma de dígitos de $N$$p$.

Answer 2

Suponga $p\notin\{2,5\}$, en cuyo caso $10$ es invertible mod $p$, y su orden multiplicativo $n$ modulo $p$ es (por definición) de tal manera que el poder $10^n$ $1$ modulo $p$ (o uno puede tomar $n=p-1$, lo que va a hacer así). Ahora el número de $$ N=\sum_{i=0}^{p-1}10^{en} $$ tiene la suma de los dígitos $p$ y es divisible por $p$. Para$p\in\{2,5\}$$N=10p$.

Más en general (por $p\notin\{2,5\}$), si $a_1,\ldots,a_p$ son distintos números enteros, uno puede tomar la $N=\sum_{i=1}^{p}10^{na_i}$, para una infinidad de soluciones. O usted podría tener algunas entradas repetidas en la lista de $a_1,\ldots,a_p$, siempre que ningún valor se produce más de $9$ a veces, para hacer un cambio de esos aburridos dígitos $1$ (los dígitos $0$ quedan, sin embargo).