Esta es una pregunta acerca de una cosa simple. La expresión simplificada de la altura máxima de impulsión vertical es $h=\frac{v^2}{2g}$ , podría alguien explicar de forma intuitiva (analogías son bienvenidos) ¿por qué hay un factor de 2 en el denominador? Y me refiero de manera intuitiva, así que no es por la transformación de fórmulas, etc, pero diciendo lo que la constante representa, en realidad, en este modelo.
Respuestas
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La mejor intuición es un cálculo, pero en este caso simple, el cálculo es muy intuitiva, así que no se apague cuando usted oye la palabra "cálculo".
La altura alcanzada por la velocidad inicial $v$ es la altura del objeto después de que la velocidad inicial $v$ gotas para $0$ (y, después, vuelve el signo), debido a la aceleración descendente $g$.
Cuánto tiempo se tarda para reducir la velocidad de$v$$0$? Así, la aceleración es el cambio de velocidad por unidad de tiempo y es $g$. De modo que el tiempo necesario para reducir la velocidad a cero es $$t=\frac vg.$$
Ahora, ¿en qué medida el objeto obtiene después de tiempo $t$? Es muy sencillo: la distancia es la velocidad multiplicada por el tiempo. Pero la velocidad está cambiando. Usted debe utilizar la velocidad promedio para calcular la distancia: $$h=\bar v\cdot t.$$
¿Cuál es la velocidad promedio? Debido a que la velocidad está disminuyendo linealmente, es sólo $1/2$ de la suma de la velocidad inicial $v$ y la velocidad final $0$: $$\bar v = \frac{v+0}{2} = \frac v2 $$ Así tenemos $$h=\bar v\cdot t = \frac v2\cdot t = \frac v2\cdot \frac vg = \frac{v^2}{2g}$$ El factor de $1/2$ provino de la necesidad de calcular la velocidad promedio y el promedio de dos números es la mitad de ($1/2$) de la suma de los mismos.
No se necesita ninguna energía cinética para hacer el cálculo, como se puede ver. Pero el factor de $1/2$ en la fórmula de la energía cinética $E=mv^2/2$ tiene un totalmente análogo origen: es el total de trabajo que tiene que hacer para acelerar el objeto de la velocidad de $v=0$ a la velocidad de $v$. La fuerza que uno tiene que superar es $F=ma$ y el trabajo es $F\cdot \Delta x$ pero $\Delta x=\bar v \cdot t = (0+v)t/2$, por lo que tenemos $$ E = ma\cdot x = ma\cdot vt/2 = mv^2/2$$ where I used $v=a$ because the velocity was assumed to increase uniformly again. Once again, I calculated the average velocity which turned out to be $1/2$ de la máxima (final).
Equivalentemente, el factor de $1/2$ proviene del hecho de que la integral indefinida de $x$$x$$x^2/2$. Por ejemplo, la integral de la $\int v\,dt = \int at\,dt=at^2/2$ da la distancia total recorrida en un movimiento acelerado – y todos los demás ejemplos de arriba son análogos. Pero uno no tiene que aprender la teoría completa de la integración para este resultado: la integral es el área bajo la curva y de una función lineal $y=x$$x=0$$x=x$, la zona es un triángulo cuya área es, simplemente, $1/2$ de la superficie de la cuadrada o rectangular; de nuevo, esto $1/2$ es el mismo $1/2$ obtenido del promedio anterior. Así que las consecuencias de este sencillo integral puede ser entendido incluso sin ningún conocimiento más amplio de la integración (o diferenciación), y eso es lo que se hizo anteriormente.
user19950
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23
El factor de $2$ proviene de la ecuación de $v_f^2 = v_i^2 - \color{#C00}2gh$. Que es como obtenemos la ecuación para la altura máxima.$$v_f^2 = v_i^2 - 2gh$$Now, we want $v_f$ to be $0$ (because at the maximum height, the speed is always zero). Calculating $h$, we have:$$ 0 = v^2 - 2gh \Rightarrow -v^2 = -2gh \Rightarrow v^2 = 2gh \Rightarrow h = \dfrac{v^2}{2g} $$podría omitir el real derivación, porque la intuición es en la primera frase.
senfo
Puntos
209
La altura es igual a la velocidad media veces el tiempo para alcanzar la altura máxima, por lo $$h = v_{ave} t.$$
La aceleración debida a la gravedad es el cambio de velocidad dividido por el tiempo, por lo que mediante la reorganización de $$t =(v_{final} - v_{initial})/(-g)=(0-v)/(-g)=v/g. $$
Ahora, recordando que para el movimiento uniformemente acelerado la velocidad promedio es la mitad de la suma de la inicial y final velocidades, $$v_{ave} = (0+v)/2=v/2.$$
A continuación, por la combinación de esas tres ecuaciones, $$h=(v/2)(v/g)=v^2/2g.$$
Esencialmente el factor de la mitad proviene de los promedios de la variable de la velocidad sobre la trayectoria.
