El locus
Después de hacer algunos cálculos en el espíritu (y la construcción en el código) de mi vértice anser, me encontré con el locus de $P$ a ser un quadric
$$ a\,x^2 + b\,y^2 + c\,xy + d\,x + e\,y + f = 0 $$
con los siguientes parámetros:
\begin{align*}
a&=4\left(-A_y\,B_y + B_y^2 + A_y\,C_y - B_y\,C_y\right)\\
b&=4\left(-A_x\,B_x + B_x^2 + A_x\,C_x - B_x\,C_x\right)\\
c&=4\left(A_y\,B_x + A_x\,B_y - 2\,B_x\,B_y - A_y\,C_x + B_y\,C_x - A_x\,C_y + B_x\,C_y\right)\\
d&=4\left(A_y\,B_x\,B_y - A_x\,B_y^2 + A_y\,B_y\,C_x - B_y^2\,C_x - 2\,A_y\,B_x\,C_y + A_x\,B_y\,C_y + B_x\,B_y\,C_y\right)\\
e&=4\left(-A_y\,B_x^2 + A_x\,B_x\,B_y + A_y\,B_x\,C_x - 2\,A_x\,B_y\,C_x + B_x\,B_y\,C_x + A_x\,B_x\,C_y - B_x^2\,C_y\right)\\
f&=A_y^2\,B_x^2 - 2\,A_x\,A_y\,B_x\,B_y + A_x^2\,B_y^2 - 2\,A_y^2\,B_x\,C_x + 2\,A_x\,A_y\,B_y\,C_x \\&\quad{}
- 2\,A_y\,B_x\,B_y\,C_x + 2\,A_x\,B_y^2\,C_x + A_y^2\,C_x^2 - 2\,A_y\,B_y\,C_x^2 + B_y^2\,C_x^2 \\&\quad{}
+ 2\,A_x\,A_y\,B_x\,C_y + 2\,A_y\,B_x^2\,C_y - 2\,A_x^2\,B_y\,C_y - 2\,A_x\,B_x\,B_y\,C_y \\&\quad{}
- 2\,A_x\,A_y\,C_x\,C_y + 2\,A_y\,B_x\,C_x\,C_y + 2\,A_x\,B_y\,C_x\,C_y - 2\,B_x\,B_y\,C_x\,C_y \\&\quad{}
+ A_x^2\,C_y^2 - 2\,A_x\,B_x\,C_y^2 + B_x^2\,C_y^2
\end{align*}
Asunción confirmado
Utilizando esta fórmula, pude comprobar su hipótesis: la cónica es de hecho una hipérbola, con las líneas de $AB$ $CB$ como asíntotas. La forma de verificar esto es asegurándose de que las líneas son tangentes, y que llegan a la cónica en el infinito.
Ubicación especial
En un comentario más abajo, usted menciona que se podría suponer $B_x=B_y=0$. Con que tu cónica se convertirá en
\begin{align*}
a&=4\,A_y\,C_y\\
b&=4\,A_x\,C_x\\
c&=-4\left(A_y\,C_x + A_x\,C_y\right)\\
d&=0\\
e&=0\\
f&=A_y^2\,C_x^2 - 2\,A_x\,A_y\,C_x\,C_y + A_x^2\,C_y^2
\end{align*}
La fórmula es de hecho mucho más fácil, por lo que podría ser un buen punto de partida para una descripción geométrica de la curva. Por ejemplo, es evidente que esta hipérbola será simétrico alrededor del origen. Pero ya sabíamos $B$ a ser el centro debido a las asíntotas. Usted puede incluso tomar un paso más allá y, a través de una transformación afín, sólo considera el caso donde
\begin{align*}
A &= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} &
B &= \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} &
C &= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}
\end{align*}
Se termina con la hipérbola
$$4xy=1$$
From this you can e.g. conclude that the midpoint between $Un$ and $C$ will also lie on that hyperbola. It will of course correspond to a Bézier curve which passes through $B$ for some $t<0$ or $t>1$. You can take that midpoint and reflect it in $B$ to obtain a point on the segment of the hyperbola you get for $0\le t\le 1$. This construction is invariant under affine transformations, so it still holds for the general case. Two asymptotes plus one point on the hyperbola amounts to five real degrees of freedom, so this should be enough to uniquely define your hyperbola.
Summary
To sum it up: the locus of the apex $P$ is the unique hyperbola with asymptotes $AB$ and $CB$ which passes through the midpoint between $$ and $C$. The portion of it which corresponds to parabolas where $B$ lies between $A$ and $C$, i.e. is obtained in the Bézier curve for $0<t<1$, is the component of the hyperbola which does not contain that midpoint. It does contain the point obtained by reflecting that midpoint in $B$.
El código
Aquí está el sabio código que he usado para obtener esta representación:
# Define multivariate polynomial ring and points
PR1.<A_x, A_y, B_x, B_y, C_x, C_y, P_x, P_y, t> = QQ[]
A = vector(PR1, [A_x, A_y, 1])
B = vector(PR1, [B_x, B_y, 1])
C = vector(PR1, [C_x, C_y, 1])
P = vector(PR1, [P_x, P_y, 1])
# Quadratic Bézier curve parametrized by t
Bt = (1-t)^2*A + 2*(1-t)*t*P + t^2*C
r1 = (Bt[0] - B_x).resultant(Bt[1] - B_y, t) # eliminate t
# Obtain coefficients for coordinates of P
c1 = vector(PR1, flatten([list(i.polynomial(i.parent()(P_y)))
for i in r1.polynomial(P_x)]))
f, e, b, d, c, a = c1
# Print result
fmt1 = [str(i/4).replace('*','\\,')
for i in [a, b, c, d, e]] + [str(f)]
fmt2 = [i + '&=4\\left(' + j + '\\right)'
for i, j in zip('abcdef', fmt1)]
fmt2[-1] = 'f&='+fmt1[-1]
print('\\\\\n'.join(fmt2))
# Check whether lines AB and CB are asymptotes of the Hyperbola
Hyperbola = Matrix([
[2*a, c, d],
[c, 2*b, e],
[d, e, 2*f]])
def onConic(p, c=Hyperbola):
return (p.row()*c*p.column())[0,0].is_zero()
asymptotes = [B.cross_product(p) for p in [A, C]]
infLine = vector(QQ, [0,0,1])
# asymptotes are tangents to the hyperbola:
assert(all(onConic(i, Hyperbola.adjoint()) for i in asymptotes))
# asymptotes touch the hyperbola at infinity:
assert(all(onConic(i.cross_product(infLine)) for i in asymptotes))
# The midpoint between A and C is on the hyperbola:
assert(onConic(A+C))
Originalmente tenía más complicado código que no dependen de la interpretación como una curva Bézier. El resultado fue el mismo, sin embargo.
Generalizando racional caso
Podemos generalizar racional cuadrática de las curvas de Bézier (es decir, a la sección cónica curvas que no son necesariamente las parábolas)?
Una parábola tiene cuatro reales grados de libertad. Si usted elige un no-racionales de una curva de Bézier, usted tiene dos grados de libertad, pero con estos no sólo especificar una parábola sino también seleccionar un punto de inicio y un punto final en esa parábola, por lo que los grados de libertad de partido. Una cónica, en general, tiene cinco reales grados de libertad. Así que si quieres pasar a través de tres puntos dados, que aún queda una de dos parámetros de la familia de los correspondientes cónicas. Por lo tanto, su locus no será una sola curva, pero todo el avión o una parte de él.
Puede definir una cónica con cinco puntos por los que debe pasar. En adición a su $A,B,C$ puede usar dos puntos más, el que se mueve cerca de los puntos finales de la $A$$C$. Haciendo arbitrario cierre (es decir, la informática algún límite), usted puede usar estos puntos de control a exactamente y de manera arbitraria determinar la dirección de las tangentes en a$A$$C$. Por lo tanto, usted puede elegir cualquier punto de $P$ en el salpicadero, y encontrar una cónica a través de$A,B,C$, con lo cual ha $P$ como vértice. En este sentido, todo el avión será su locus.
No estoy completamente seguro de si un racionales de una curva de Bézier pueden ser definidos de tal manera que pasa a través de la infinidad, pero yo creo que para ser el caso. Si no, entonces puede haber casos donde el resultado cónica sería una hipérbola, y $A,B,C$ no son todos los tres en la misma de sus componentes. Esto podría resultar en una restricción a la parte del plano.
