Subadditivity de Capacidad Analítica Distintos Pactos separados por una Línea

Question

El siguiente problema se pide en Greene y Krantz, el Problema 9, página 382:

Supongamos que $C_1$ $C_2$ son disjuntas compacto pone en $\mathbb{C}$ que pueden ser separados por una línea de $l$$C_1 \cap l = C_2 \cap l = \emptyset$. Mostrar que $$\gamma(C_1 \cup C_2) \leq \gamma(C_1) + \gamma(C_2).$$

Aquí, $\gamma(C)$ es la capacidad analítica del conjunto compacto $C\subset \mathbb{C}$.

Todas mis ideas para solucionar este problema llega a un punto muerto con bastante rapidez. Dos ideas inicialmente se sentía bien. Uno fue Schwarz reflexión. El otro era encontrar un disco abierto que contiene a$C_1$, pero que es distinto, con $C_2$, a continuación, utilizar la integral de Cauchy fórmula de este disco para ayudar a definir una función que se holomorphic en $\mathbb{C} \backslash C_2$ que tiene la norma $\leq$ 1. No creo que cualquiera de estas ideas son útiles.

Answer 1

La definición de $\gamma(K)$ de la Wikipedia es:

$$\gamma(K)=\sup\{|f'(\infty)|;f\in\mathcal{H}^\infty(\mathbb{C}\setminus K),||f||_\infty\le1,f(\infty)=0\}$$

Debido a la definición, $\gamma(C_1)$ es el supremum de $|f'|$ fuera de $C_1$ (y por lo $\ge0$), y de manera similar a $\gamma(C_2)$ es el supremum de $|f'|$ fuera de $C_2$ (y por lo $\ge0$). Si ambos ocurren fuera de las $C_1\cup C_2$$\gamma(C_1\cup C_2)=\max(\gamma(C_1),\gamma(C_2))\le\gamma(C_1)+\gamma(C_2)$.

Si uno o ambos se producen en el interior de $C_1\cup C_2$ , $\gamma(C_1\cup C_2)$ excluye $C_1\cup C_2$ de su dominio, w.l.o.g., $\gamma(C_1\cup C_2)\le\gamma(C_1)\le\gamma(C_1)+\gamma(C_2)$.