¿Cómo puede el $\left({1\over1}-{1\over2}\right)+\left({1\over3}-{1\over4}\right)+\cdots+\left({1\over2n-1}-{1\over2n}\right)+\cdots$ igual $0$?

Question

¿Cómo puede el $\left({1\over1}-{1\over2}\right)+\left({1\over3}-{1\over4}\right)+\cdots+\left({1\over2n-1}-{1\over2n}\right)+\cdots$ igual $0$?

Vamos

$$\begin{align*}x &= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} + \cdots\\ y &= \frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \cdots\\ z &= \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{2n} + \cdots \end{align*}$$

así tenemos

$$x = y + z.$$

Sin embargo, $x = 2\cdot z$, por lo que $y$ = $z$ o

$$\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n-1} + \cdots = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{2n} + \cdots$$

Esto se ve bien si yo lo interpreto como

$$\frac{1}{1} = \left (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right ) + \left (\frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right ) + \left (\frac{1}{6} - \frac{1}{7} \right ) + \cdots + \left (\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1} \right ) + \cdots$$

Sin embargo, es un poco raro si lo escribo como

$$\left (\frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right ) + \left (\frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right ) + \left (\frac{1}{5} - \frac{1}{6} \right ) + \cdots + \left (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} \right ) + \cdots = 0.$$

¿Cómo puede una suma de números positivos igual $0$?

Answer 1

Casi todo en su prueba funciona bien hasta el momento de escribir "esto se ve bien si yo interprete como..."

Hasta entonces, usted está manipulando infinitas sumas de series con términos positivos, estos se extienden los números reales no negativos (los números de $x$ tal que $0\leqslant x\leqslant+\infty$, si te gusta) por lo tanto la adición de ellos y la equiparación de ellos es perfectamente legal.

El problema comienza cuando se restan de ellos, ya que no hay sustracción en el conjunto de extendido de los números reales no negativos. Como era de esperar, pronto debe lidiar con $(+\infty)-(+\infty)$ diferencias, y sobreviene el caos.

Una forma menos sofisticada ejemplo, imperfecto de manera bastante similar, es comenzar con la identidad correcta $$ 1+1+1+\cdots=\underline{\mathbf 1}+(\color{red}{1}+\color{blue}{1}+\color{verde}{1}+\cdots), $$ y para deducir de ella que $$ 0=(1-\color{rojo}{1})+(1-\color{blue}{1})+(1-\color{verde}{1})+\cdots=\underline{\mathbf 1}. $$

Answer 2

Responder sólo "¿Cómo puede una suma de números positivos o iguales a 0?" : ver el $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2+ ... = 0$ lo cual es un resultado significativo si la serie es entendida como zeta de la serie.

Answer 3

La prueba no es correcta desde $x=\infty$.

Answer 4

Usted está manipulando divergentes de la serie. Al hacer la resta, usted puede obtener cualquier límite desea cambiar el orden en el que se están sumando o restando las cosas.

Por ejemplo, $(1 - \frac 12 - \frac 14 - \frac 18 - \ldots) + (\frac 13 - \frac 16 - \frac 1{12} - \frac 1{24}- \ldots) + (\frac 15 - \frac 1{10} - \frac 1{20} - \frac 1{40} - \ldots) + \ldots = 0 + 0 + 0 + \ldots = 0$