¿Cuál es el núcleo del mapa de suma de la suma directa a la suma?

Question

Deje que $R$ ser un anillo, y dejar $I_1, \ldots ,I_n$ ser ideales en $R$ (o submódulos de algunos $R$ -módulo). Considere la secuencia $$ \bigoplus_ {1 \leq j < k \leq n} I_j \cap I_k \quad\xrightarrow {f} \quad\bigoplus_ {l=1}^n I_l \quad\xrightarrow {g} \quad\sum_ {k=1}^n I_k, $$ donde $g$ se da por adición, y $f$ mapas $x \in I_j \cap I_k$ a $x \in I_j$ y a $-x \in I_k$ (y a cero en todos los demás componentes).

Claramente, $g$ es surjectiva y la composición $g \circ f$ se desvanece.

Pregunta: ¿La secuencia anterior está exactamente en el medio?

(Esto parece ser fácil para $n=2$ .)

(Con respecto al título: Soy consciente del hecho de que $f$ no será inyectable en general.)

Answer 1

Puedes convertir el ejemplo de Chandok en ideales en un anillo conmutativo también. Toma R= Z (3,xx,xy,xz,yy,yz,zz), un álgebra de 4 dimensiones sobre Z/3Z. Tiene ideales de (espacio vectorial) dimensión 1 generada por x-y, y-z, y z-x. Claramente hay un núcleo no cero de "g" que contiene el triple ( x-y, y-z, z-x ). Sin embargo, el dominio de "f" es 0, ya que todas las intersecciones por pares de los ideales son 0.

La traducción obvia del ejemplo de Chandok a uno sobre el anillo Z 3 falla, ya que los ideales generados por el x _i se hace más grande. Este anillo arregla eso, ya que tiene un montón de elementos de anillo sin sentido que dejan a la mayoría de los subgrupos abelianos como ideales.

Answer 2

Si tomas $I_1, \ldots I_n$ submódulos de un $R$ -módulo $M$ puedes encontrar fácilmente un contra-ejemplo cuando su intersección es cero:

Escoge $R = \mathbb {Z}, M = \mathbb {Z}^3, x_1 = (1,-1,0), x_2 = (0,1,-1), x_3 = (-1,0,1)$ . Entonces tienes eso $x_1+x_2+x_3 = 0$ , $x_i$ está en su submódulo $I_i = \mathbb {Z}x_i$ y para $i \not = j, I_i \cap I_j = \{0\}$ .