¿Subgrupo conjugado estrictamente contenido en el subgrupo inicial?

Question

Probablemente sea una pregunta muy estúpida:

Dejemos que $G$ sea un grupo, $H\subset G$ un subgrupo, $a\in G$ un elemento. ¿Es posible que $aHa^{-1} \subset H$ pero $aHa^{-1} \neq H$ ? Si $H$ tiene un índice finito o un orden finito, esto no es posible.

Answer 1

Consideremos el grupo de matrices $$G=\left\{ \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : x,y \in \mathbb{Q} \right\} = \operatorname{AGL}(1,\mathbb{Q}) $$ y su subgrupo $$H=\left\{ \begin{bmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : y \in \mathbb{Z} \right\} \cong \mathbb{Z}$$ y, por supuesto, el elemento único $$a=\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ Un cálculo directo da como resultado $$aHa^{-1} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 2y \\ 0 & 1 \end{bmatrix} : y \in \mathbb{Z} \right\} < H$$ es un subgrupo propio de H .

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Answer 2

En primer lugar, el grupo $G$ tiene que ser no abeliano. En caso contrario, cualquier subgrupo es normal y $a^{-1}Ha = H$ para cada $a \in G$ . También se necesita el subgrupo $H$ (y por lo tanto $G$ ) para que sea infinito, como has mencionado.

Daré un ejemplo diferente. Dejemos que $G = S_{\mathbb{Z}}$ el grupo de biyecciones de $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Z}$ .

Para el subgrupo, sea $H = \{f \in G \mid f(x) = x \text{ for each } x \leq 0 \}$ . Definir el mapa $\sigma \in G$ por $\sigma(x) = x + 1$ por cada $x \in \mathbb{Z}$ .

No es difícil demostrar que $\sigma H\sigma^{-1} \subseteq H$ . Desde $\sigma f \sigma^{-1}(1) = \sigma(f(0)) = \sigma(0) = 1$ para cualquier $f \in H$ observamos que $\sigma H \sigma^{-1}$ contiene sólo mapas que fijan $1$ . Así, $\sigma H \sigma^{-1}$ no puede ser todo $H$ .

Answer 3

Dejemos que $G=\langle a,t;t^{-1}at=a^2\rangle$ y tomar $H=\langle a\rangle$ . Observando que $\langle a^2\rangle\lneq\langle a\rangle$ , claramente $t^{-1}H t\lneq H$ . Así que esto funciona.

Si no se siente cómodo con las presentaciones, entonces aquí $G$ es en realidad sólo funciones lineales $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ generado por la función $x\mapsto x+1$ (que corresponde al generador $a$ ) y la función $x\mapsto 2\cdot x$ . Los elementos de $G$ consiste entonces en todas las funciones de la forma $f(x)=2n\cdot x+m/2^k$ . Entonces, $$t^{-1}at(x)=t^{-1}a(2x)=t^{-1}(2(x+1))=t^{-1}(2x+2)=x+2=a^2(x)$$ según sea necesario.

El grupo anterior es lo que se llama un grupo Baumslag-Solitar. En general, estos grupos son bastante desagradable pero éste es realmente muy bonito (por ejemplo, es metabeliana y residualmente finito ). De hecho, podemos sustituir el $2$ en la presentación con cualquier número entero distinto de cero y obtenemos las mismas propiedades agradables, y ocurre lo mismo que acabo de exponer. En efecto, si el $2$ se sustituye por un $i$ Entonces se obtiene un par de funciones lineales similares. Si no recuerdo mal, la función correspondiente a $a$ sigue siendo $x\mapsto x+1$ pero ahora $t$ se convierte en $x\mapsto i\cdot x$ . Si quiere más detalles, busque el libro Grupos, grafos y árboles por John Meier.

Ahora, los grupos Baumslag-Solitar son lo que se llama HNN-extensiones del grupo cíclico infinito $\mathbb{Z}$ . Si $H$ es algún grupo que contiene dos subgrupos isomorfos, $A$ y $B$ digamos que con el isomorfismo $\phi: A\mapsto B$ Entonces puedes crear un nuevo grupo $G$ utilizando un carta estable para inducir el isomorfismo $\phi$ . Es decir, $$G=\langle H, t; t^{-1}At=A\phi\rangle.$$ Es un teorema que $H$ se incrusta en $G$ de forma natural. ¿Qué quiero decir? Bueno, si $H$ contiene un par de subgrupos isomorfos $A$ y $B$ tal que $A<B$ entonces puedes usar una extensión HNN para construir un grupo con la propiedad que estamos discutiendo. En efecto, si $A<B=H$ (así $H$ contiene un subgrupo propio isomorfo a sí mismo) entonces se puede obtener un buen ejemplo de lo que ocurre aquí. Si $B=H$ entonces esto se llama un ascendente Extensión HNN. Los ejemplos de Baumslag-Solitar anteriores son extensiones HNN ascendentes del grupo cíclico infinito.

Otro ejemplo es el siguiente: todos los subgrupos de un grupo libre son libres, por lo que el grupo $$\langle a, b, t; a^t=ab, b^t=ba\rangle$$ es un ejemplo de lo que estamos hablando.

Las extensiones HNN tienen una visualización geométrica. Tomemos el árbol infinito en el que cada vértice tiene aristas entrantes etiquetadas por los cosets $H/A=\{hA: h\in H\}$ y las aristas salientes etiquetadas por los cosets $H/B$ , donde $B=A\phi$ . Entonces el grupo $G=\langle H, t; A^t=A\phi\rangle$ actúa sobre este árbol donde $H$ fija algún vértice y actúa sobre las aristas entrantes y salientes actuando sobre las etiquetas como multiplicación por la izquierda, mientras que $t$ mueve cada vértice a lo largo de la arista saliente con etiqueta $H(=1H)$ la arista etiquetada por el coset que contiene la identidad. Esto significa que estos ejemplos tienen un sabor similar a una respuesta de Marc van Leeuwen a una pregunta idéntica.

Moraleja: ¡hay muchos ejemplos de grupos con subgrupos que tienen esta propiedad!

Answer 4

Este es un repost de mi respuesta a otra encarnación de esta pregunta ( Un ejemplo de un grupo, un subgrupo y un elemento, que satisfacen una condición dada. ). Borraré la respuesta de allí y la dejaré aquí ya que me parece mejor tener todas las respuestas reunidas en un solo lugar.

He aquí una forma general de construir tales grupos y elementos:

Dejemos que $X$ sea un conjunto con $X = Y\cup Z \cup W$ , de tal manera que $Y$ , $Z$ y $W$ son disjuntos entre sí, y tales que $|X| = |Y| = |Y\cup Z| = |W|$ .

Fijar una biyección $\varphi: Y\cup Z\to Y$ y una biyección $\psi: W\to Z\cup W$ .

Definir una nueva biyección $\chi: X\to X$ por $\chi(x) = \varphi(x)$ para $x\in Y\cup Z$ y $\chi(x) = \psi(x)$ para $x\in W$ .

Dejemos que $H$ sea el subgrupo del grupo de biyecciones de $X$ a $X$ consistente en aquellos elementos que fijan todo en $Y$ .

Ahora es fácil comprobar que $\chi^{-1}H\chi$ es el subgrupo formado por los elementos que fijan todo en $Y\cup Z$ que es un subgrupo estrictamente menor que $H$ .

El bonito ejemplo dado por Mikko Korhonen es un caso especial de esto, con $X = \mathbb{Z}$ , $Y$ el conjunto de enteros no positivos, $Z = \{1\}$ y $W$ el conjunto de enteros estrictamente mayores que $1$ .