¿Qué hace el Tate módulo de una curva elíptica nos dicen?

Question

Empecé a estudiar curvas elípticas, y veo que es bastante común tomar la Tate módulo de una curva elíptica (o, de la Jacobiana de una mayor género de la curva).

Estoy teniendo un tiempo difícil aislar los beneficios de esta construcción. ¿Puede dar un ejemplo de (o crédito) que explica cómo la Tate módulo arroja luz sobre algunas de las propiedades de la curva?

Answer 1

Usted debe comenzar con cuidado la comprensión, en el caso de que $E = \mathbb C/\Lambda$ es una curva elíptica sobre los números complejos, la canónica de isomorfismo entre el $\ell$-ádico Tate módulo de e $\mathbb Z_{\ell} \otimes_{\mathbb Z} \Lambda$ (o, lo que es lo mismo, el límite inversa $\varprojlim_n \Lambda/\ell^n\Lambda$).

Una vez que hemos entendido que, se podía leer las pruebas de imprenta en Silverman clasificación de los posibles endomorfismo anillos para curvas elípticas. Silverman de pruebas de trabajo de carácter arbitrario, y el uso de la Tate módulos. Pero usted podría tratar de imitarlos para curvas elípticas sobre $\mathbb C$, utilizando el entramado $\Lambda$ directamente como una herramienta. Los argumentos, a continuación, llegar a ser algo bastante más simple. La comparación de estos simples argumentos con la Tate módulo, los argumentos deben de desarrollar aún más su intuición.

El siguiente paso es aprender la prueba de la Naturaleza--teorema de Weil contando los puntos en curvas elípticas sobre campos finitos, y la filosofía del pensamiento de su aplicación de la Lefschetez teorema de punto fijo para la Frobenius endomorfismo --- con la Tate módulo de jugar el papel de $H_1$. Si usted recuerda que en el caso complejo el entramado $\Lambda$ es canónicamente identificado con $H_1(E,\mathbb Z)$, esto añadirá aún más la intuición.

Resumen: Tate módulos de sustituir el entramado $\Lambda$ que juega un papel importante en el estudio de curvas elípticas sobre $\mathbb C$.

Answer 2

Hay muchas, muchas formas en que el conocimiento de las diversas Tate módulos proporciona información acerca de la curva elíptica. Por ejemplo:

Teorema(Nerón-Ogg-Shafarevich): Vamos a $E$ ser una curva elíptica sobre un campo de número de $K$. Deje $p$ ser una de las primeras de $\mathbb{Q}$. A continuación, $E$ tiene buena reducción en$\mathfrak{p}$$p\nmid\mathfrak{p}$, si y sólo si la representación $\rho_p:G_K\to \text{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ es unramified en $\mathfrak{p}$.

Aquí $G_K$ es la absoluta Galois grupo de $K$, e $\rho_\mathfrak{p}$ es cualquiera de las representaciones de la forma

$$G_{K_\mathfrak{p}}\to G_K\to \text{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$$

donde $G_K\to \text{GL}_2(\mathbb{Z}_p)\cong \text{GL}_2(T_p E)$ es la representación proveniente de la acción de la $G_K$$T_p E$. También, se unramified significa que esta representación del núcleo contiene la inercia de grupo $I_\mathfrak{p}$.

De hecho, usted puede recuperar casi todos los locales de las $L$-factores de una curva elíptica sobre un campo de número de su Tate módulos (y su Galois acciones), que, por un duro teorema de Tate/Faltings, en realidad determina la $E$ $\mathbb{Q}$- isogeny. Así, en un sentido muy real, la Tate módulos (y sus correspondientes representaciones de Galois) determinar todo acerca de la curva elíptica, por lo menos en un campo de número.

Answer 3

Volvamos a empezar los números complejos, por lo que el $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb C$. A continuación, el natural mapa de $\mathrm{End}(E) \to \mathrm{End}(H^1(X,\mathbb C))$ es inyectiva. Supongamos ahora que usted tiene una curva elíptica sobre $\mathbb F_p$. ¿Qué podría el análogo de esta declaración?

Si $E$ es una curva elíptica sobre un campo arbitrario $k$, e $\ell$ es un número primo es invertible en a $k$, entonces la Tate módulo de $\mathrm{V}_\ell(E) = T_{\ell} E \otimes \mathbb Q$ es un reemplazo para $H^1(X,\mathbb C)$ (en algún sentido). Por ejemplo, para todos los números primos $\ell$ invertible en a $k$, el natural mapa $\mathrm{End}(E) \to \mathrm{End}_{\mathbb Q_\ell}( V_\ell E)$ es inyectiva.

A grandes rasgos, la Tate módulo es el doble de la) $\ell$-ádico realización de la `motivo" de $E$. De hecho, es más que un $\mathbb Q_\ell$-espacio vectorial (de dimensión dos), ya que lleva una acción natural de la absoluta grupo de Galois $G_k = Gal(\bar k/k)$$k$.

Si $k$ es finitely generado más de su primer campo, los naturales mapa

$\mathrm{End}(E) \otimes \mathbb Q_\ell \to \mathrm{End}_{\mathbb Q_\ell[G_k]}( V_\ell E)$ es un isomorfismo. Esto es debido a Tate, Zarhin y Faltings.

Así, en la aritmética de las situaciones (por ejemplo, número de campos o campos finitos), la Tate módulo le dice que esencialmente todo sobre el motivo.

A veces las propiedades del motivo implican propiedades similares subyacente de la variedad. El criterio de Nerón-Ogg-Shafarevich (ver a Alex Youcis la respuesta) es un importante ejemplo de este fenómeno. De hecho, el criterio de Nerón-Ogg-Shafarevich le dice que una curva elíptica $E$ a través de una forma discreta con valores de campo $K$ tiene una buena reducción de más de $O_K$ si y sólo si existe un número primo $\ell$ $\ell \in k^\ast$ de manera tal que el $\ell$-ádico Tate (módulo de leer `$\ell$-ádico realización del motivo de $E$") tiene buena reducción de más de $O_K$ (en el sentido de que es unramified como un Galois de la representación).

Otra aplicación que viene desde el antes mencionado teorema de Tate, Zarhin y Faltings. Si $E_1$ $E_2$ son curvas elípticas sobre un finitely campo generado $k$$\ell \in k^\ast$, ninguna de las $G_k$-equivariant de morfismos $V_\ell E_1 \to V_\ell E_2$ es inducida por un elemento de a $\mathrm{Hom}(E_1,E_2)\otimes \mathbb Q_\ell$. Por lo tanto, las curvas elípticas $E_1 $ $E_2$ $k$- isogenous si y sólo si su $\ell$-ádico Tate módulos (leer `$\ell$-ádico realizaciones de sus motivos") son isomorfos como representaciones de Galois.

Si $k$ es finitely generado de característica cero, usted también puede leer el sistema de Tate módulos de $\{V_\ell(E)\}_{\ell}$ si la curva tiene complejo de la multiplicación.

Declaraciones similares presionado para abelian variedades.

Antes de intentar comprender los hechos anteriores en todo detalle, te recomiendo que siga guy_in_seoul y el asesoramiento a desarrollar su intuición para la Tate módulo mediante el estudio de curvas elípticas sobre $\mathbb C$.