¿Cuándo se cumple un CLT punto a punto?

Question

Sea $X$ una variable aleatoria con media $0$ y varianza $1$, y sea $X_1, X_2, X_3, \dots$ copias iid de $X$. ¿Bajo qué condiciones podemos decir que la densidad de $\frac{X_1+\dots+X_n}{\sqrt{n}}$ converge puntualmente a $N(0,1)$?

En particular, ¿cuándo puedo decir que para cualquier secuencia $\epsilon_n \rightarrow 0$ tenemos $$\frac{P(|\frac{X_1+\dots+X_n}{\sqrt{n}}|<\epsilon_n)-P(|N(0,1)|<\epsilon_n)}{\epsilon_n} \rightarrow 0?$$

En cierto sentido esto es algo similar a lo que he visto denominado como "teoremas límite locales", excepto un poco más fuerte; por ejemplo si $X$ es una variable de Bernoulli esto no se cumple (tomemos $\epsilon_n=2^{-n}$). Supondría que una condición suficiente sería que se cumpla el TCL usual y que $X$ tenga funciones de densidad acotadas, aunque no he visto esto citado en ningún lugar.

Answer 1

Creo que una densidad acotada será suficiente. Básicamente lo que se necesita es que las transformadas de Fourier (también conocidas como funciones características) de $X_1 + \ldots + X_n / \sqrt{n}$ converjan puntualmente a la transformada de Fourier de la distribución normal mientras están dominadas por algo integrable más algo cuya norma L^1 tiende a cero, para que se aplique el teorema de convergencia dominada de Lebesgue (ruidoso) y se obtenga la convergencia uniforme de la función de densidad. La convergencia puntual no es un problema, porque el segundo momento finito hará que la función característica de X esté en la clase $C^2$ (dos veces continuamente diferenciable). Esta función no puede ser igual a 1 excepto en el origen (porque X no es discreta), entonces por continuidad y Riemann-Lebesgue está acotada por $1-\epsilon$ fuera de un pequeño vecindario del origen; esto junto con Plancherel (aquí usamos la densidad acotada - de hecho, bastará con una densidad cuadrado integrable) es suficiente para obtener la dominación requerida.

Answer 2

La convergencia puntual (en realidad, uniforme) de las densidades es de hecho el material de los teoremas locales clásicos debido a Gnedenko, ver su libro clásico escrito junto con Kolmogorov:

Distribuciones límite para sumas de variables aleatorias independientes, por B. V. Gnedenko y A. N. Kolmogorov. Traducido del ruso y anotado por K. L. Chung. Con un apéndice de J. L. Doob. Cambridge, Mass., Addison-Wesley, 1954.

Una de las posibles condiciones suficientes es que la densidad sea de variación acotada en ℝ. Más generalmente, se puede requerir que la densidad sea Lp para p∈(1,2] y cierta propiedad de suavidad.

Gnedenko también tiene teoremas locales muy buenos para variables aleatorias con valores en una retícula en otro capítulo del mismo libro.

Answer 3

Feller establece el teorema de Berry-Esseen de la siguiente manera. Sean las variables independientes $X_k$ con una distribución común $F$ tal que $$E[X_k]=0, E[X_k^2]=\sigma^2>0, E[|X_k|^3]=\rho<\infty,$$ y sea $F_n$ la distribución de la suma normalizada $$(X_1+ \dots X_n)/(\sigma \sqrt{n}).$$ Entonces para todo $x$ y $n$ $$|F_n(x)-N(x)| \leq \frac{3\rho}{\sigma^3 \sqrt{n}}.$$

La expresión en la que estás interesado es $$\left|\frac{F_n(\epsilon)-F_n(-\epsilon)-N(\epsilon)+N(-\epsilon)}{\epsilon}\right|,$$ que es menor que $$\left| \frac{F_n(\epsilon)-N(\epsilon)}{\epsilon} \right| + \left| \frac{F_n(-\epsilon)-N(-\epsilon)}{\epsilon} \right|,$$ que según Berry-Esseen está acotada por $$2\frac{3\rho}{\epsilon \sigma^3 \sqrt{n}}.$$ Entonces, si $\epsilon\sqrt{n}$ tiende a infinito, entonces estás bien.

Me doy cuenta de que esto no es lo que preguntaste, ya que querías condiciones sobre $X$, y esto en cambio te da condiciones sobre $\epsilon_n$. Aun así, tal vez te ayude.

Referencia: Feller, Una Introducción a la Teoría de la Probabilidad y sus Aplicaciones, Volumen II, Capítulo XVI.5.