Es esta clase de funciones periódicas cerrado bajo la (circular) de convolución de la operación ? Ayuda en la demostración.

Question

Estoy estudiando las propiedades de una clase particular de funciones, y agradecería un poco de ayuda en la demostración de una propiedad de la clase. Empecé con una clase de funciones y de hecho algunas modificaciones para mostrar de que forma un espacio vectorial y para mostrar que es cerrado bajo la convolución. Me han dado toda la descripción que sigue, y requiere de la ayuda en la comprobación de que el conjunto es cerrado bajo la operación de convolución (circular). También he mencionado lo métodos que han utilizado para acreditar que se forma un espacio vectorial, por lo que puedo conseguir borra de la dificultad en la que me estoy enfrentando en llegar al resultado de cierre de convolución. ( en caso de querer evitar leer el post completo linealmente, la propiedad tiene que ser demostrado en el set $S_{pc}$ y se describe en la sección "cierre").

PS : por Favor, hágamelo saber si usted desea saber la motivación para el estudio. No tengo razones concretas que se puede expresar matemáticamente en términos precisos, detrás de la motivación, pero tengo una intuición detrás de él.

PS 2 : UN método de construcción y prueba de la no-vacío de esta clase de funciones se da en este Q&A.

Definición

Deje $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función, considere la posibilidad de un punto de $x \in \mathbb{R}$ donde $f$ es continua, entonces las dos sentencias siguientes son equivalentes.

1. $Cf(x) = k$ donde $k \in \{0\}\bigcup\mathbb{N}\bigcup\{\infty\}$.
2. La función es continua en $x$ y el número máximo de veces $f$ es diferenciable en a$x$$k$.

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Aclaración (Añadido)

$Cf(x)=k$, donde sabemos que la $f$ es una función de y $x$ es el punto de su dominio, entonces significa que el número máximo de veces $f$ es diferenciable en a$x$$k$. Esta no es una buena notación como alguien podría pensar que el $Cf$ sí es una función diferente de la f y no están asociados con él, pero aquí os la intención de que $C$ habla de un proprty de la función en un punto de su dominio.....no convencer a la notación......pero me gustaría saber alguna idea para hacer una buena notación para él.

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Definición de una clase de funciones

El conjunto $S$ se compone de funciones $f \colon (0,1) \to \mathbb{R}$, que satisfacen las siguientes propiedades.

Dado cualquier $f \in S$ existe una contables subconjunto denso $D \subset (0,1)$ y mapas de $k,ck$ define como $k \colon D \to \mathbb{N}$ $ck \colon (0,1) \to \mathbb{N}\bigcup\{\infty\}$ que satisfacen las siguientes propiedades.

1. $\forall n \in \mathbb{N}$, la pre-imagen de $k^{-1}(\{n\})$ es un conjunto finito.
2. $\forall x \in$D$, ck(x) \ge k(x)$ pero finito y $\forall x \in (0,1)$\D$, ck(x) = \infty$.
3. $\forall x \in (0,1), Cf(x) = ck(x)$
4. Siempre que $Cf(x) = k$ es finito, por el $(k+1)^{nth}$ derivado de la $f$$x$, la izquierda y la derecha de los límites existen y no son iguales. (la izquierda y la derecha de los límites de no divergen).

Deje $S_p$ ser el conjunto de todas las funciones de $f_p$ que son periódicas versiones de las funciones $f \in S$.

El periódico la versión $f_p$ de la función de $f \in S$ se define como $f_p(x) = f(x) \forall x \in (0,1)$, $f_p(0) = f(0+)$ y $f_p(1) = f_p(0)$$\forall x \in \mathbb{R}, f_p(x) = f_p(x+1)$.

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El cierre de la propiedad en virtud de la adición

EDIT : (Este argumento es falso y el conjunto $S_{pc}$ no es cerrado bajo la suma) (véase el comentario de Andrew)

Deje $f_1,f_2 \in S_p$ tal que $f_1$ no es lo mismo que $-f_2$. Soy capaz de demostrar que si $f_3 = f_1 + f_2$,$f_3 \in S_p$, haciendo las siguientes consideraciones.

Deje $D_1,k_1,ck_1$ ser el conjunto de mapas y, respectivamente, para la función de $f_1$ según las definiciones dadas anteriormente. Deje $D_2,k_2,ck_2$ ser el conjunto y mapas de $f_2$.

Deje $D_3,k_3,ck_3$ se define como a continuación.

$D_3 = D_1 \bigcup D_2$.

Deje $l_1 \colon (0,1) \to \mathbb{N}\bigcup\{\infty\}$ $l_2 \colon (0,1) \to \mathbb{N}\bigcup\{\infty\}$ se definen como

$l_1(x) = k_1(x)$ si $x \in D_1$ lo contrario $\infty$. $l_2(x) = k_2(x)$ si $x \in D_2$ lo contrario $\infty$.

$k_3(x)$ es asignado como $k_3(x) = \min\{l_1(x),l_2(x)\}$

y

Deje $m_1 \colon (0,1) \to \mathbb{N}\bigcup\{\infty\}$ $m_2 \colon (0,1) \to \mathbb{N}\bigcup\{\infty\}$ se definen como

$m_1(x) = ck_1(x)$ si $x \in D_1$ lo contrario $\infty$. $m_2(x) = ck_2(x)$ si $x \in D_2$ lo contrario $\infty$.

$ck_3(x)$ es asignado como $ck_3(x) = \min\{m_1(x),m_2(x)\}$.

Mediante la asignación de $D_3,k_3,ck_3$ como se mencionó anteriormente soy capaz de demostrar que $f_3 \in S_p$.

Para conseguir el cierre de la propiedad en virtud, además, podemos añadir el conjunto de todas las constantes de las funciones de $K$ para el conjunto de $S_p$ para formar un nuevo conjunto $S_{pc}$.

Por lo tanto soy capaz de demostrar que el conjunto $S_{pc}$ como se definió anteriormente es cerrado bajo la operación de adición (y que fácilmente se deduce que el conjunto de $S_{pc}$ es cerrado bajo la operación de multiplicación).

No por que yo soy capaz de demostrar que el conjunto de $S_{pc}$ es de hecho un espacio vectorial. (ya que la cabina se puede ver fácilmente que el conjunto $S_{pc}$ es cerrado bajo la multiplicación escalar).

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La Pregunta

Cuando necesito un poco de ayuda, es para mostrar que el conjunto de $S_{pc}$ es cerrado bajo la operación binaria de la circular de convolución. Aquí por la circular de convolución, me refiero a la operación de convolución con la integral de convolución suman sólo más de un período, es decir, en $[0,1]$.

Específicamente, ¿Cómo debo hacer la elección de $D_3,k_3,ck_3$, el conjunto de mapas y de la resultante de la función de convolución, para mostrar que no pertenece a $S_{pc}$.

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Lo que yo sé

Deje $f_1$ es periódica con período de $1$ y es suave (dentro de un período), excepto en $x = a_1 \in [0,1]$, donde sólo es $n_1$ veces diferenciable y Deje $f_2$ es periódica con período de $1$ y es suave (dentro de un período), excepto en $x = a_2 \in [0,1]$, donde sólo es $n_2$ veces diferenciable.

Ahora la función de $f_3 = f_1 \star f_2$ es suave (dentro de un período), excepto en$x = a_1 - a_2$, donde sólo es $n_1 + n_2$ veces diferenciable.

Pero estoy confundido en cuanto a cómo utilizar este hecho para llegar al resultado deseado.

Answer 1

Podemos demostrar que el conjunto $S_p$ es cerrado bajo la operación de convolución. Deje $$f_3 = f_1 \ast f_2$$ .

Con el fin de demostrar que el $f_3 \in S_p$, tenemos que demostrar que

1. El conjunto de todos los puntos donde $f_3$ es finitely diferenciable es contable y denso en $(0,1)$ y

2. El conjunto de todos los puntos donde $f_3$ $n \in \mathbb{N}$ veces diferenciable es un conjunto finito.

   La prueba de declaración de 2

   Deje $D_1,D_2$ son los contables densos conjuntos y $ck_1,ck_2$ son los mapas asociados con las funciones de $f_1,f_2$ respectivamente.

   La operación de convolución se define como $$f_3(\tau) = \int_0^1 f_1(\tau-x) f_2(x) d{x}$$

En la convolución nos flip $f_1$ sobre el $y-axis$ y cambiarlo por $\tau$ y colocarlo en la función de $f_2$ y multiplicar pointwise y tomar una sumatoria para obtener $f_3(\tau)$.

El valor mínimo de $n$ = suma de, el número de veces que $f_1$ es diferenciable en a $\tau-x$ y el número de veces $f_2$ id diferenciable en $x$, $\forall x \in (0,1)$.

Deje $x_1 \in D_1, x_2 \in D_2$

Los puntos $x_1$, $x_2$ coinciden sólo una vez por cada turno y el punto para el que coinciden es para $\tau = x_1 - x_2$.

Para un punto de $\tau$ Deje $C = \{(x_1,x_2)/ x_1 \in D_1, x_2 \in D_2\}$ ser el conjunto de todos los puntos de un cambio particular $\tau$. Entonces $$n = \min\limits_{(x_1,x_2) \in C} ck_1(x_1) + ck_2(x_2)$$ where $n$ is the maximum number of times $f_3$ is differentiable at $\tau$. If $C = \phi$ then $f_3$ is infinitely differentiable at $\tau$.

Para $f_3$ $n$ veces diferenciable en a $\tau$ debe haber al menos una coincidencia $(x_1,x_2)$ tal que $ck1(x_1) + ck2(x_2) = n$. Lo que significa que necesitamos coincidencia de tipo $(x_1,x_2)$ $ck1(x_1) + ck2(x_2) = n$ puntos $\tau$ donde $f_3$ $n$ veces diferenciable. Cada coincidencia $(x_1,x_2)$ corresponden a sólo una $\tau$. El conjunto de todas las coincidencias de la forma $(x_1,x_2)$ tal que $ck1(x_1) + ck2(x_2) = n$ es esencialmente un subconjunto de $$C_n = \{(x_1,x_2)/x_1 \in D_1, x_2 \in D_2,ck_1(x_1) < n, ck_2(x_2) < n\}$$ The set $C_n$ is a finite set as $f_1,f_2 \en S_p$.

Por lo tanto el número total de puntos donde se $f_3$ es diferenciable $n$ veces $\forall n \in \mathbb{N}$ es finito. También desde una contables de la unión finita de conjuntos es contable, el conjunto de todos los puntos donde $f_3$ es finitely diferenciable es contable.

La prueba de que el conjunto de todos los puntos donde $f_3$ es finitely diferenciable es denso en $(0,1)$.

Considerar el intervalo de $(\tau_1,\tau_2)$ $\tau$ varía de $tau_1$ $\tau_2$tenemos que demostrar que hay al menos un coincidiendo punto de $(x_1,x_2)$ donde$x_1 \in D_1$$x_2 \in D_2$.

Como $D_1$ es denso en $(0,1)$ no es un porcentaje ($x_1 \in (\tau_1,\tau_2)$y $D_2$ es denso en $(0,1)$ hay un $x_2 \in (x_1,\tau_2)$.

Como variar el turno de $\tau$ $\tau_1$ $\tau_2$el punto de $x_1$ coincide con el punto de $x_2$ $x_2 - x_1 < \tau_2 - \tau_1$ y, por tanto, no hay punto donde $f_3$ es finitely diferenciable en cualquier intervalo de $(\tau_1,\tau_2) \subset (0,1)$.

Por lo tanto, hemos demostrado que en los puntos donde la $f_3$ es finitely diferenciable es contable y denso en $(0,1)$ y el número de puntos en el que $f_3$ es exactamente $n$ veces diferenciable, por cualquier $n \in \mathbb{N}$ es finito. Por lo tanto $f_3 \in S_p$.

Por lo tanto el conjunto de $S_p$ es cerrado bajo la operación de convolución.

PS : Esta prueba es intuitivo, pero no en el correcto lenguaje matemático. Por lo tanto solicito que dar alguna sugerencia o posteriores a la prueba en las debidas lenguaje matemático por separado como una respuesta para el premio de la recompensa.

PS2 : Comentarios de Theo fueron particularmente útiles para esta respuesta.