Convergencia de la secuencia $\frac{1}{e^k \sin{k}}$

Question

¿Converge la secuencia $\frac{1}{e^k \sin{k}}$?

Si $\sin{k}$ actúa como una variable aleatoria (tomando valores en $(-1, 1)$), entonces parece que deberíamos ser capaces de demostrar que la secuencia converge con alta probabilidad. Me pregunto si se puede decidir absolutamente.

Answer 1

Converge a $0$, de hecho $\frac{1}{k^7\sin{k}}$ ya converge a $0$, ver Teorema 2 aquí. Este teorema da una buena caracterización de la medida de irracionalidad de $\pi$ como el número de límite $\mu$ tal que $\frac{1}{k^{u-1}\sin{k}}$ converge a $0$ para $u>\mu$, y diverge para $u<\mu$. Así que $\frac{1}{k^7\sin{k}}$ converge porque se sabe que $\mu$ es menor que $8$, y $\frac{1}{k^{1/2}\sin{k}}$ diverge porque tiene que ser al menos $2$. Si $\frac{1}{k^2\sin{k}}$ converge es una pregunta abierta, pero la sabiduría convencional es que $\mu=2.

Curiosamente, la secuencia $\frac{1}{k^{u-1}\xi_k}$, donde $\xi_k$ son variables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en $[-1,1]$ converge a $0$ casi seguramente si y solo si $\sum\frac{1}{k^{u-1}}<\infty$. Por lo tanto, $\sin{k}$ siendo una "variable aleatoria" uniformemente distribuida en $[-1,1]$ es de hecho equivalente a $\mu=2.

La convergencia de secuencias similares $\frac{\tan k}{k^{u-1}}$ se analiza aquí, también utilizando implícitamente la medida de irracionalidad de $\pi.

Answer 2

NO ES UNA PRUEBA. Pero aquí están mis pensamientos. No creo que converja. A medida que k continúa aumentando, se acercará cada vez más a múltiplos de pi. Por ejemplo, k=3, 31, 314, 3141, 31415, ... etc. A medida que ocurren estos valores de k, sin(k) se acercará más y más a cero. Dado que sin(k) está en el denominador, el efecto hará que el elemento de la secuencia $k^{th}$ sea irregular, lo cual sucede cuando se divide por cero (o números cercanos a cero). Sí, está el $e^{k}$ en el denominador que hace que la secuencia parezca converger rápidamente, pero nuevamente esos múltiplos aproximados de pi se vuelven más precisos a medida que $k \rightarrow \infty$.

Esta imagen muestra lo que sucede en $x=\pi, 2\pi,...$ , y lo que sucederá a medida que los valores de k se acerquen a un múltiplo de $\pi$.