$f>0$ $[0,1]$ implica $\int_0^1 f >0$

Question

Alguien hizo el comentario de mi vieja pregunta (segundo al último comentario sobre la respuesta de aquí) que una función integrable $f>0$ $[0,1]$ no implica $\int_0^1 f >0$ desde los límites de no preservar la desigualdad estricta. Pero creo que es verdad, y voy a tratar de darle una prueba.

Desde $\{f>0\} = \cup_{n=1}^{\infty}\{f>\frac{1}{n}\}$, a partir de la continuidad de la medida de Lebesgue $$ 1= m(\{f>0\}) = m\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\Big\{f>\frac{1}{n}\Big\}\right) = \lim_{n\rightarrow \infty} m\left(\Big\{f>\frac{1}{n}\Big\}\right),$$ esto significa que no existe $N$ tal que $m\left(\Big\{f>\frac{1}{N}\Big\}\right)\geq 1/2$.

A continuación, $\frac{1}{N}\chi_{\{f>\frac{1}{N}\}} \leq f$ y $$\int_0^1 f \geq \int_0^1 \frac{1}{N}\chi_{\{f>\frac{1}{N}\}} \geq \frac{1}{2N} > 0.$$

Es esto correcto?

Answer 1

Sí, la prueba es correcta. Los dos comentarios de que la respuesta anterior está mal. El primer comentario dice:

La anterior prueba que está mal: si $f(x)>C$$\int_0^1 f(x) \mathbb{dx} \geq C$. Observe que la desigualdad no es estricta, ya que la integración está de paso al límite y los límites de no preservar el rigor de las desigualdades.

En general, es una buena regla que limita el no preservar estricto de las desigualdades. Pero este usuario en su comentario está mal que esto tiene para las integrales en particular. De hecho, para el Lebesgue (o de Riemann!) integral, si $f > g$ sobre un conjunto $A$, y ambos son integrables, entonces $\int_A f > \int_A g$.

Específicamente, deje $A \subseteq \mathbb{R}$ ser un Lebesgue medibles conjunto, y supongamos $f, g$ son medibles, con $f(x) > g(x)$ todos los $x \in A$. A continuación,$\int_A f > \int_A g$, con sólo un par de excepciones:

• Si $A$ tiene una medida de $0$, esto no se puede sostener.

• Si $\int_A f = -\infty$ o si $\int_A g = \infty$, esto no se puede sostener.

Esto cubre la Riemann caso así, ya que Riemann integrable también existen funciones Lebesgue integrable. (Excepto para algunos inadecuado de las integrales de Riemann-no estoy seguro de si se mantiene en el caso de las integrales impropias o no).

---

Esto también ha sido cubierto en mathSE un montón de veces. Algunos ejemplos: 1, 2, 3, 4, 5.

Answer 2

Estás en lo correcto.

Supongamos $\int_0^1 f=0$.

Deje $E_n=\{x \in [0,1] : f(x) > 1/n\}.$

$0=\int_0^1 f \geq \int_{E_n}f \geq \int_{E_n}(1/n)=m(E_n)(1/n)$

Por lo $m(E_n)=0$ desde $f>0 $ en $[0,1]$, $[0,1] = \cup E_n$ por lo $m([0,1])=0$.