Los grupos de mentiras como colectores

Question

En el caso de Weinberg Soluciones clásicas en la teoría de campo cuántico declara que los grupos de mentira, como $SU(2)$ o $SO(3)$ puede ser visto como un múltiple. Mis preguntas son,

1. Si podemos interpretar, por ejemplo. $SU(2)$ como un múltiple, ¿cómo se determina la métrica?
2. Desde una perspectiva de geometría diferencial, el tensor de Riemann codifica la curvatura de un múltiple particular. Si nuestra variedad es un grupo Lie, ¿hay una interpretación de la teoría de grupos de la curvatura de esa variedad, es decir, una forma diferente de verla?
3. Si un grupo de Lie como múltiple es Ricci plano, ¿qué conclusiones podemos sacar de eso, respecto al grupo en cuestión, si es que hay alguna?

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Editar: Para los futuros usuarios de S.E. de matemáticas que lean esta pregunta en el futuro, ver http://www.rmki.kfki.hu/~tsbiro/gratis/LieGroups/LieGroups.html para un ejemplo explícito de una métrica particular para $SU(2)$ .

Answer 1

Los colectores no tienen métricas por defecto. Una métrica es una estructura adicional que convierte a una variedad en una variedad riemanniana. Es interesante estudiar las métricas en los grupos de Lie, pero no es necesario que estén ahí.

En particular, es interesante estudiar las métricas bi-invariantes (métricas invariantes tanto bajo la multiplicación por la izquierda como por la derecha). Para los grupos de Lie semisimples compactos hay una opción particularmente agradable de tal métrica que viene de la forma de Killing y uno puede expresar varias cosas sobre esta métrica en términos del álgebra de Lie; véase, por ejemplo, esta pregunta del modus operandi . En particular, el tensor de curvatura puede escribirse en términos del corchete de Lie.