Me encuentro con algunos problemas para entender cuál es la importancia de un Campo vectorial matador ? Agradeceré si alguien me da una respuesta, o me remite a alguna reseña o libro.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Glen Solsberry
Puntos
572
En términos de relatividad general clásica: Las ecuaciones de Einstein $$ G_{ab} = 8\pi T_{ab} $$ puede formularse, en coordenadas locales, como un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden para la métrica desconocida $g_{ab}$ . Las ecuaciones del campo de la materia generan además una familia de ecuaciones diferenciales parciales.
Dada una simetría continua (garantizada por un campo vectorial de Killing), uno tiene herramientas y trucos que puede utilizar para ayudar a resolver las EDP.
-
El teorema de Noether nos dice que para la ecuación de Einstein (que admite una formulación lagrangiana), asociada a cada campo vectorial de Killing $X^a$ es una ley de conservación. Esto se puede ver simplemente considerando la corriente $$ J^{(X)}_a = T_{ab} X^b $$ Su divergencia es $$ \nabla^a J^{(X)}_a = \nabla^a T_{ab} X^b + T_{ab} \nabla^a X^b $$ El primer término desaparece, ya que el tensor de energía y momento no tiene divergencia. Utilizando que el tensor energía-momento es simétrico, escribimos $$ \nabla^a J^{(X)}_a = \frac12 T_{ab} \left( \nabla^a X^b + \nabla^b X^a\right) $$ Como consecuencia de las ecuaciones de Killing, si $X^a$ es un campo de Killing, el término dentro del paréntesis se evalúa como 0. Entonces $J^{(X)}$ está libre de divergencias. Aplicando el teorema de Stokes vemos entonces una ley de conservación.
-
Reducción de simetría: dada una simetría continua para una EDP, podemos intentar realizar una reducción de simetría de las ecuaciones. Esto reduce el número de variables independientes de la EDP y a menudo facilita la obtención de una solución exacta (o el examen de las características de las soluciones simétricas). Para un estudio de cómo la simetría puede ayudar, recomiendo consultar Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein de Stephani y otros (Cambridge University Press). Los capítulos 8, 9, 10 y toda la Parte II de ese libro abordan el uso de los grupos de simetría para ayudar a resolver las ecuaciones de Einstein.
ssube
Puntos
713
La aplicación del teorema de Stokes en este caso es ligeramente indirecta, ya que la última ecuación contiene la derivada covariante en lugar de la derivada parcial sobre una coordenada en la ley de conservación estándar. Sin embargo, esto no es un problema, porque
$$ 0 = \nabla_\nu (X^{\mu} T_{\mu}^{\nu}) = \frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_\nu( \sqrt{-g} \ X^{\mu} T_{\mu}^{\nu}), $$ y así la corriente conservada incluye el factor extra de
$$ {\sqrt{-g}} $$
