Cerrado orientable $n$-colector $X$, hay un mapa de $f: S^n \to X$ de los cero grados, $n > 1$ $\pi_1(X)$ finito?

Question

Cerrado orientable $n$-colector $X$ satisface $(*)$ si hay algún mapa en $f: S^n \to X$ de los cero grados (es decir, para que la imagen de el generador de $H_n(S^n)$ es igual a un valor distinto de cero múltiples del generador de $H_n(X)$). Si $X$ satisface $(*)$$n > 1$, no se sigue que la $\pi_1(X)$ es finito?

Answer 1

Deje $Y$ ser la universalización de la cobertura de $X$. Entonces a partir de la $n>1$ el mapa de $f$ cuenta con un ascensor, $\bar{f}$ a la universalización de la cobertura $Y$. Si $\pi_1(X)$ es infinito, $Y$ sería no compacta. Y $f=p\circ \bar{f}$ donde $p$ ser universal que cubre el mapa. Y desde el mapa de $f$ se calcula a través de $Y$, lo $f_*:H_n(S^n)\to H_n(X)$ se tendrán en cuenta a través de $H_n(Y)$ $0$ (desde $Y$ es no-compacto, el $n-th$ de homología de $Y$ es cero por la versión de la Dualidad de Poincaré de la no-espacio compacto). Esto implica $deg(f)=0$.

Por lo tanto si $deg(f)\neq 0$, $\pi_1(X)$ tiene que ser finito.