¿Podría tener PI un valor diferente en un universo diferente?

Question

El valor de pi viene determinado por la circunferencia de un círculo.

¿Por qué es un número constante en particular? ¿Un círculo definido como un círculo perfecto en cualquier universo llevaría a un valor diferente de pi?

¿Todos los universos en los que se puede construir un círculo por "gente" de allí también llevarían al valor de pi?

Si es cierto, entonces lleva a la conclusión de que pi es una especie de valor constante en todo el universo. ¿Qué significa eso?

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Referencias de ciencia ficción.

En la ciencia ficción, pi tiene a veces un valor diferente en distintos universos, por ejemplo "The Way" de Greg Bear En la página web de la Comisión Europea, dice: "Las puertas están cubiertas por cúpulas formadas por el propio espacio-tiempo. Como distorsiones en la geometría del espacio-tiempo, su naturaleza puede ser calculada por instrumentos del siglo XXI colocados en sus "superficies". La constante pi, en particular, es la más afectada".

Un mensaje se encuentra codificado dentro de pi, en la novela de Carl Sagan, "Contacto" "Ellie, siguiendo una sugerencia de los remitentes del mensaje, trabaja en un programa que calcula los dígitos de pi para registrar longitudes en diferentes bases. Muy lejos del punto decimal (1020) y en base 11, descubre que existe un patrón especial cuando los números dejan de variar aleatoriamente y empiezan a producir 1s y 0s en una cadena muy larga".

Answer 1

Físicamente, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro $C/d$ no es realmente $\pi$ . La relatividad general describe la gravedad en términos de la curvatura del espaciotiempo, y a grandes rasgos, si se toma $(C/d-\pi)/A$ , donde $A$ es el área del círculo, lo que se obtiene es una medida de curvatura llamada escalar de Ricci.

Pero incluso si estás haciendo relatividad general, no vas por ahí redefiniendo $\pi$ . La cosa es, $\pi$ se produce en todo tipo de contextos, no sólo como $C/d$ . Por ejemplo, podría definir $\pi$ como $4-4/3+4/5-4/7+\ldots$ que no tiene nada que ver con la curvatura del espacio.

Por lo tanto, si se define $\pi$ como $C/d$ ni siquiera se obtiene un valor consistente dentro de nuestro propio universo, mientras que si se define como $4-4/3+4/5-4/7+\ldots$ se obtiene una respuesta que se garantiza que es la misma en cualquier otro universo.

Otra forma de verlo es que $\pi$ no es el $C/d$ relación de un círculo físico, es la $C/d$ relación de un círculo matemáticamente idealizado que existe en ciertos sistemas axiomáticos, como la geometría euclidiana. Visto así, no importa que nuestro universo no sea realmente euclidiano.

Answer 2

Esto es un complemento de otras respuestas. Se puede definir un valor $\pi_p$ como $\pi$ en $ \ell_p$ . $\ell_p$ es un espacio bidimensional con una métrica como la siguiente $$ d\left((x_1,y_1),(x_2,y_2)\right)=\left(|x_1-x_2|^p+|y_1-y_2|^p\right)^{1/p} $$ para $1\leq p \leq \infty$ . Entonces el círculo $C_p$ se define como todos los puntos $(x,y)$ tal que: $$ \left(|x|^p+|y|^p\right)^{1/p}=1 $$ El diámetro de este círculo es $2$ . Y por lo tanto podemos definir $\pi_p$ como la mitad de la circunferencia del círculo. Se puede ver que $\pi_1=4$ , $\pi_2=\pi$ y $\pi_\infty=4$ . En la siguiente imagen, se puede ver el valor $\pi_p$ contra p:

Referencia: Mira el siguiente artículo $\pi _{p} $ el valor de π en $\ell _p $ .

Answer 3

Que habrá un número $\pi$ es un hecho matemático. Pero si el número significativo sería el mismo es una cuestión más interesante. Algunas personas en nuestro propio universo preferirían que la constante hubiera sido elegida para ser $2\pi$ es decir $6.28 ...$ en lugar de $3.14 ... $ ya que reduciría el número de factores de 2 en algunas fórmulas.

También sería posible imaginar, en un universo de mayor dimensión, que el objeto redondo básico podría ser, digamos, una 3-esfera, y la constante significativa se definiría en relación con su geometría en lugar de la geometría de un círculo.

Vivir en un mundo no euclidiano (por ejemplo, en la superficie de una esfera) haría que otros números fueran geométricamente significativos, pero seguiría habiendo $\pi$ = $3.14 ...$ sentado en el fondo.

Answer 4

Cuando pienso en diferentes "universos", me imagino lugares fundamentalmente diferentes al nuestro. Como pi es sólo la relación entre la circunferencia y el diámetro, eso no cambiará mientras el comportamiento de la "métrica del universo" no cambie.

Pero supongamos que consideramos el "universo del taxi", donde la métrica pertinente es el métrica del taxi (a la que también he llamado la métrica de Manhattan, lo que resulta muy aliterado). En este universo, un círculo nos parece un cuadrado. Pero dentro de la métrica, un círculo de radio 4 tendría una circunferencia de 32. Así que el taxi-pi sería 4. Qué bonito y uniforme.

Lo he utilizado como ejemplo, pero en realidad no deja de ser una creación matemática. Se podrían analizar más o menos muchas geometrías diferentes, topologías, colectores, etc. Y a cada una de ellas se le podría asociar alguna forma diferente de relacionar un "círculo" (sea lo que sea que eso signifique) con la métrica.

Answer 5

Pi puede variar en función de la constante de hubble. la forma matemática de un universo dado cambia supuestamente según la constante de hubble la constante es una medida de la dispersión de la masa dentro del volumen del universo. los universos con diversas constantes de hubble tienen formas de planos, platillos, toroides, esferas. el cálculo de una curva uniforme que se cierra sobre sí misma en cada uno de esos universos podría producir valores diferentes para pi.

si es así, pi sería una buena manera de medir con precisión la densidad (o la densidad local) del universo.