Si $f(x)=0 \implies f'(x)>0$, es la puesta a cero de $f$ un solo punto?

Question

Deje $f:\mathbb R \to \mathbb R$ ser un valor real función derivable. Supongamos que $f'(x)>0$ por cada $x$ tal que $f(x)=0$. De lo anterior se sigue que el número de ceros de $f$ está a más de uno?

Esto suena bastante razonable para mí: parece intuitivo que si $x_1, x_2$ son dos diferentes ceros de $f$, luego un tercero cero negativo derivado debe estar entre ellos. Me parece que no puede adaptarse este argumento para una prueba sólida de aunque.

Hay alguna forma de demostrar (o refutar!) este hecho en una rápida de la moda?

Answer 1

Suponga $a < b$ $f(a) = f(b) = 0.$ Por la existencia de la derivada en $a$ y su positividad, hay un pequeño vecindario $(a, a + \delta)$ que $f(x) > 0.$

Definir el conjunto $C$ como el conjunto de todos los $a < x < b$ tal que $f(x) > 0.$ $C$ no está vacío. Por otro lado, hay un pequeño vecindario $(b - \varepsilon, b)$ que $f(x) < 0.$ por lo Tanto $\sup C \neq b.$

Nota supremum es la misma que la menor cota superior de. Original de Látex tiene, entre "registro de funciones similares," $\sup$ pero no tiene LUB para menos límite superior. Yo podría hacer uno con operatorname, $\operatorname{lub}$

Deje $c = \sup C.$ sabemos $c < b.$ Por la continuidad, $f(c) = 0.$ sin Embargo, $f'(c) \leq 0$ ya que hay puntos de $x$ $f(x) > 0$ arbitrariamente cerca de $c$ pero $x<c.$

En caso de que alguien se pregunta por qué las $f$ es positivo inmediatamente a la derecha de $a,$ nos dice que hay algo de $f'(a) = A > 0.$ El límite que define la derivada tiene $$ A = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t) - f(a)}{(a+t - a)} = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(a+t) }{t}. $$ Desde $A > 0$ es el límite, hay algunos $\delta > 0$ tal que $$ 0 < t < \delta \Longrightarrow \; \; \; \; \; \; \frac{f(a+t) }{t} > \frac{A}{2}, $$ o $$ 0 < t < \delta \Longrightarrow \; \; \; \; \; \; f(a+t) > \left( \frac{A}{2} \right) \; t > 0. $$

Answer 2

Supongamos que $f$ tiene al menos dos ceros.

Supongamos primero que $a<b$ son dos ceros consecutivos de $f$ ($f(x)\not=0$todos los $x\in(a,b)$). Desde $f'(a)>0$ entonces no es $x_1\in (a,b)$ tal que $f(x_1)>0$. En forma similar, $f'(b)>0$ implica que no es $x_2\in (a,b)$ tal que $f(x_2)<0$. Por lo tanto, por la continuidad, $f$ cero en $(a,b)$. Contradicción.

Si no hay "consecutivos" ceros, y luego entre los dos ceros no son infinitos ceros. Aquí podemos encontrar una estrictamente monótona secuencia de ceros $x_n$ que converge a algún punto de $x_0$. Por la continuidad de $0=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x_0)$. Finalmente llegamos a una contradicción $$0=\frac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}\to f'(x_0)>0.$$

Answer 3

Deje $a<b$ dos ceros. Desde $f'(a)>0$ existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)>f(a)=0$. Desde $f'(b)>0$ existe $d\in (c,b)$ tal que $f(d)<f(b)=0$. Desde $f$ es continua, se tiene un cero en $(c,d)$.

De tal manera se puede construir una secuencia infinita $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ tal que $n\neq m\Rightarrow x_n\neq x_m$$f(x_n)=0$. Sin limitar la generalidad (tomando un larga) usted puede suponer que $x_n$ converge hacia a $x$. Tenemos $f(x)=0$$f'(x)=0$. Contradicción.