Homología de cerrado, orientado a las superficies de género $2$$3$.

Question

Deje $X_2$ $X_3$ denotar cerrado, orientado a las superficies de género $2$ $3$ respectivamente.

• ¿Cuál es la homología de $X_2$$X_3$?
• ¿Cuál es la homología del producto $X_2 \times X_3$?
• ¿Qué son los mapas en la homología inducida por las proyecciones sobre los dos factores?

Answer 1

$X_i$ $i(=2,3)$- género cerrado orientable de la superficie. Así que para calcular los $H_1$ tenemos que ver la estructura del grupo fundamental. Como sabemos que un $g-$género orieted superficie de la estructura de la célula con una $0-cell$, $2g$ $1-cells$, y uno de los $2-cell$. El $1-skeleton$ es una cuña suma de $2g$-círculos y las dos células se adjunta a lo largo del bucle de $[a_1,b_1]\cdots [a_d,b_g]$. Hay palestra $H_1(X_i)=AB(\pi_1(X_i))= \mathbb Z^{2i}$. Ya que están conectados y orientado, por lo $H_0(X_i)=H_2(X_i)=\mathbb Z$.

No utilizar Kunneth fórmula de homología para obtener 2ª respuesta. Observar que todos los homología geoups son gratis. Por lo $H_k(X_2\times X_3)= \sum_{i+j=k} H_i(X_2)\otimes H_j(X_3)$.(sólo cómputo)

Y a partir de esta fórmula podemos ver ahora que la proyección del mapa de $p_*:H_i(X_2\times X_3)\to H_i(X_j)$ envía el $i-th$ de homología de $X_j$ sobre su cannonical la imagen y el resto de los generadores a cero.

Answer 2

Pues lo más probable es una tarea problema, sólo puedo esbozar las ideas y las palabras clave necesarias.

• $X_g$ está conectado suma $T\#\cdots\# T$ $g$ copias de los torus $T$. Usted puede reducir los cálculos para la homología de la (perforado) toro y la homología de conectado sumas. Para este último, el de Mayer-Vietoris largo de la secuencia exacta puede ser de alguna ayuda.

• Alternativamente, se nota que sabes $H_0 (X_g)$ $H_2 (X_g)$ (lo que estos grupos son y por qué?), y el único grupo que falta es $H_1 (X_g)$, que es el abelianization de el grupo fundamental de la $\pi_1 (X_g)$. Puede describir los $\pi_1 (X_g)$ en términos de generadores y relaciones, y a continuación, calcular el abelianization.

• Si te gusta, también puede tener en cuenta algunos sencillos CW-complejos de $X_g$ y calcular todo, el uso de celular de homología.

• La herramienta para expresar la homología de $X\times Y$ en términos de homologías de $X$ $Y$ es el Künneth fórmula. Se deduce de la Eilenberg-Zilber teorema que dice que $C_\bullet (X\times Y) \cong C_\bullet (X) \otimes C_\bullet (Y)$.

Para más detalles, véase cualquier libro de texto sobre la topología algebraica.