Una bala disparada a una puerta frente a una bala disparada a un bloque suspendido

Question

Ahora mismo estoy aprendiendo sobre el momento angular y me han dado este problema de Física universitaria , 13e de Young y Freedman:

Una puerta de 1,00 m de ancho, con una masa de 15 kg, puede girar libremente sobre un eje vertical a través de sus bisagras. Una bala con una masa de 10 g y una velocidad de 400 m/s impacta en el centro de la puerta, en una dirección perpendicular al plano de la misma, y se incrusta allí. Encuentra la velocidad angular de la puerta.

Me han dicho que no se puede utilizar la conservación del momento lineal en este problema porque hay fuerzas externas que actúan sobre este sistema (bala + puerta). Por lo que veo, la fuerza externa en cuestión es la que ejerce el pivote sobre la puerta.

Sin embargo, no veo la diferencia entre esta pregunta y la relativa a un péndulo balístico, para cuya resolución sí utilizamos la conservación del momento lineal (y la conservación de la energía mecánica). En ambos casos, se dispara una bala contra algo que gira alrededor de un punto. En el caso de un péndulo balístico, ¿no hay fuerzas externas que actúan sobre el sistema? ¿Por qué es válida la conservación del momento lineal en ese caso?

Answer 1

En el caso del péndulo balístico, se supone que toda la masa del bloque se concentra en el punto de impacto de la bala. En el caso de la puerta, la masa se distribuye por toda la puerta y, puesto que se supone que la puerta es rígida (y está constreñida en las bisagras), las diferentes partes de la puerta tendrán que tener diferentes velocidades tangenciales.

Answer 2

La diferencia se debe a que la puerta puede transmitir una fuerza desde las bisagras que está en la dirección horizontal mientras que una cuerda vertical no puede ejercer una fuerza horizontal.
La única fuerza de que dispone la cuerda es su tensión y ésta actúa a lo largo de la misma. La cuerda sólo puede ejercer una componente horizontal de la fuerza cuando no está vertical.

Supongamos que las bisagras de la puerta eran tales que durante la colisión no impedían que la puerta se moviera horizontalmente, pero inmediatamente después sí, es decir, que había un poco de holgura en las bisagras.
Así que durante la colisión se podría utilizar la conservación del momento lineal, pero inmediatamente después habría un impulso en la puerta debido a las bisagras, lo que significaría que el momento lineal de la puerta cambiaría de nuevo.

El uso de la conservación del momento angular alrededor de las bisagras significa que los pares aplicados por las bisagras son cero.

Answer 3

Los dos sistemas son equivalentes. En un caso se tiene un péndulo simple en el otro tienes un péndulo compuesto . El hecho de que la cuerda del péndulo sea flexible no entra en el cálculo. Podría sustituirse por una varilla rígida y ligera sin afectar al resultado. La única diferencia es entonces la distribución de la masa en torno al punto de giro, que creo que es la única razón por la que la conservación del momento lineal funciona para el péndulo simple pero no para la puerta.

En ambos casos se debe utilizar la conservación de momento angular sobre el punto de giro, no la conservación del momento lineal. Suponiendo que la fuerza sobre la cuerda o la puerta desde el punto de giro actúa hacia el pivote (a fuerza central ) entonces no hay cambio en el momento angular del sistema durante la colisión instantánea.

En ambos casos el momento angular inicial es $mvL$ donde $L$ es la distancia de la bala al punto de pivote. El momento angular final es $J\omega_0$ donde $J$ es el momento de inercia alrededor del pivote y $\omega_0$ es la velocidad angular inmediatamente después la bala se incrusta, lo que se supone que ocurre instantáneamente.

Para el péndulo simple, en el que la masa $M$ del péndulo se concentra en la distancia $L$ del eje, tiene
$mvL=J\omega_0=(ML^2+mL^2)\omega_0$
$mv=(M+m)V$ ...(*)
donde $m,M$ son las masas de la bala y del bloque y $v,V$ son las velocidades lineales de la bala inmediatamente antes y de la bala y el bloque inmediatamente después de la colisión. También he utilizado el hecho de que $V=\omega_0 L$ . En este caso, la conservación del momento angular es equivalente a la conservación del momento lineal.

Para el péndulo compuesto, cuya masa se distribuye como una varilla hasta una longitud $2L$ del eje, tiene
$mvL=J\omega_0=(\frac13M(2L)^2+mL^2)\omega_0=(\frac43ML^2+mL^2)\omega_0$
$mv=(\frac43M+m)V$
que no es el mismo que el resultado utilizando la conservación del momento lineal en la ecuación (*) anterior.

[Sin embargo, la conservación del momento lineal puede aplicarse si la bala golpea la puerta en el centro de percusión . (Gracias a Andrew Morton por señalar esto en su comentario más abajo.) La puerta oscila sobre su bisagra con el mismo período que un péndulo simple de la misma masa concentrada en el CoP. El momento de inercia de la puerta puede escribirse como $J=Mk^2$ donde $k$ es la distancia entre la bisagra y el CoP. Por lo tanto, si la bala golpea la puerta en el CoP, la conservación del momento angular da el mismo resultado que la conservación del momento lineal:
$mvk=(Mk^2+mk^2)\omega_0$
$mv=(M+m)V$
donde ahora $V=\omega_0 k$ es la velocidad de la CoP inmediatamente después de la colisión].

Tanto el péndulo simple como el compuesto giran alrededor de un pivote fijo. Este movimiento puede descomponerse en un movimiento lineal instantáneo del CM y una rotación alrededor del CM. En el caso del péndulo simple, el pivote está muy lejos de la varilla, por lo que la rotación de la varilla sobre su CM es insignificante comparada con el movimiento del CM. En una buena aproximación, el impacto sólo produce un movimiento lineal del CM, por lo que se modela bien como una colisión lineal 1D. En el caso del péndulo compuesto, el punto de pivote no está lejos del CM en comparación con el tamaño de la puerta, por lo que el movimiento de rotación en torno al CM es significativo en comparación con el movimiento del CM. El impacto da lugar a un movimiento rotacional y lineal, por lo que no puede aproximarse como una colisión lineal 1D.

Answer 4

Supongamos que la bisagra de la puerta tiene cierta holgura, de modo que en el primer pequeño intervalo de tiempo tras el impacto de la bala en la puerta, toda la puerta puede desplazarse en la misma dirección que la bala, sin girar.

Sin embargo, ahora la puerta empieza a girar en lugar de moverse linealmente. ¿Por qué puede ser eso? Sólo puede ser porque la bisagra se retira en su lado de la puerta para que el borde de la puerta se quede donde está.

Esta fuerza sobre la puerta se come parte del momento lineal que obtuvo de la bala, por lo que analizar la situación en términos de momento lineal va a ser complejo.

Afortunadamente, ya que el sistema de puerta+bala sólo interactúa con su entorno a través de la bisagra (y estamos asumiendo que la bisagra está bien engrasada y no transmite ningún par), su momento angular alrededor de la bisagra se conserva. Esto nos permite analizar la situación con relativa facilidad utilizando el momento angular.

En el caso del péndulo (en el que tratamos la masa del péndulo como un punto) el momento lineal (en la dirección del recorrido de la bala) o el momento angular deberían funcionar y ambos deberían dar el mismo resultado. En este caso es algo más fácil utilizar el momento lineal, por lo que ese es el cálculo que se suele presentar.

La conservación de la energía mecánica no es válida en ninguna de las dos situaciones, porque parte de la energía se pierde en forma de calor y tensión cuando la bala se incrusta en el blanco, deformándolo.