Que $m;n \in \mathbb{Z^+}$ tal que $mn | m^2+n^2+m$
Demostrar que $(n-1)$ es un número cuadrado.
P/s: no tengo alguna idea sobre este problema :(
Gracias :)
Respuesta
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Considere la ecuación de $kmn = m^2+n^2+m$ fijos $k$. Supongamos que esta ecuación tiene soluciones en $(m,n)$ en los enteros positivos, y tomar la solución de con $m+n$ minimizado. Podemos distinguir dos casos.
- Supongamos $m \geq n$. Tenga en cuenta que $m$ satisface la ecuación cuadrática $$ X^2 - (kn-1)X+n^2 = 0$$ que también ha $X=\frac{n^2}{m}$ como una solución. De ello se desprende que $(\frac{n^2}{m},n)$ es también una solución de la ecuación original, de donde $m+n \leq \frac{n^2}{m} + n$ lo que implica $m=n$.
- Supongamos $n \geq m$. Tenga en cuenta que $n$ satisface la ecuación cuadrática $$ Y^2 - kmY + m^2+m = 0$$ que también ha $Y=\frac{m^2+m}{n}$ como una solución. De ello se desprende que $(\frac{m^2+m}{n},m)$ es también una solución de la ecuación original, de donde $m+n \leq \frac{m^2+m}{n} + m$ o $n^2 \leq m^2+m$. Desde $n \geq m$ esto conlleva $n=m$ ($m \leq n-1$ tenemos $m^2 +m \leq (n-1)^2 + (n-1) = n^2 - n < n^2$).
En ambos casos nos encontramos con $m=n$. Dado que la única solución con $m=n$$m=n=1$$k=3$, llegamos a la conclusión de que $k=3$ es la única posibilidad.
Ahora tenemos $3mn = m^2+n^2+m$ o $m(n-1)=(m-n)^2$. Desde $m \mid n^2$, $m$ es coprime a $n-1$ por lo tanto $m$ $n-1$ son cuadrados.
Esta técnica es conocida como Vieta saltar.
