Necesita ayuda de polinomios separables de comprensión

Question

Tengo la siguiente definición de lo que significa para un polinomio a ser separables:

Deje $E$ ser un campo y $P \in E[x]$ ser irreductible. Luego nos dice $P$ es separable si no tiene raíz repetida en cualquier campo de extensión de $E$. Si $P\in E[x]$ es reducible, podemos decir $P$ es separable si todos sus factores irreducibles son separables.

En la irreductible caso, hemos mostrado $P$ es separable si no ha repetido raíz de la división de extensión de campo.

¿Alguien puede darme un ejemplo de un polinomio que es no separable? No veo por qué esta definición no es trivial. Por ejemplo, si yo tuviera una doble raíz como $(x-2)^2$, entonces el polinomio es reducible por lo tanto consideramos que $(x-2)$ $(x-2)$ por separado, cada uno de los cuales no tiene una doble raíz. Así que, cuando podríamos tener un polinomio que no es separable?

Answer 1

El ejemplo típico de un polinomio que no es separable: vamos a $F=\mathbb{F}_p(x)$ a ser el campo de todas las funciones racionales con coeficientes en el campo con $p$ elementos. Considere el polinomio $y^p-x$$F[y]$. Si $u$ es una raíz de $y^p-x$ (en algunos extensión de $F$), tenemos $u^p-x=0$, lo $u^p=x$. Porque estamos en charactersitic $p$, el teorema del binomio se convierte en $$(a\pm b)^p = a^p \pm b^p,$$ por lo tanto, tenemos $$(y-u)^p = y^p-u^p = y^p-x,$$ por lo $u$ es la única raíz de $y^p-x$ (por única factorización), que es un perfecto $p$ de energía en su división de campo.

Tenga en cuenta también que $y^p-x$ es irreducible sobre $F$ (de modo que $u$ "vive" en algunos extensión estrictamente mayor que $F$). Para probar esto, considere por ejemplo, por el criterio de Eisenstein aplicado como un elemento de $(\mathbb{F}_p[x])[y]$: $\mathbb{F}_p[x]$ es un UFD donde $x$ es primo; cada coeficiente de $y^p-x$, excepto el líder es un múltiplo de a $x$, y el término constante no es divisible por $x^2$; así, por el Criterio de Eisenstein $y^p-x$ es irreducible en a $(\mathbb{F}_p[x])[y]$. Ahora Lema de Gauss, nos permite concluir que el polinomio también es irreducible sobre $F$.

Sobre un campo de característica $0$, todos los polinomios irreducibles son separables. Esto se deduce ya que un polinomio tiene raíces múltiples si y sólo si el mcd con su formal derivado no es igual a $1$. Pero si $p(x)$ es irreducible, entonces $p'(x)$ es un polinomio de estrictamente menor grado de $p(x)$, y por tanto, ya no constante factor de $p(x)$ puede ser un factor de $p'(x)$. Por lo tanto, $\gcd(p(x),p'(x))=1$, lo $p(x)$ es separable.

Así inseparabilidad es puramente positivo, fenómeno característico. De hecho, se puede demostrar que un polinomio irreducible sobre un campo de característica $p$ no es separable si y sólo si puede ser escrito como un polinomio en $x^p$ (es decir, cada exponente que se produce es un múltiplo de a $p$).