Un ejemplo contrario en teoría de la obstrucción

Question

Deje $K$ denotar un complejo simplicial y $Y$ algunos topológica del espacio. También vamos a denotar por $K^n$ $n$- esqueleto de la $K$. Me gustaría tener un ejemplo para la siguiente situación:

Hay un mapa de $f^1:K^1\to Y$ que puede ser extendido a $f^2:K^2\to Y$ y, sin embargo, dicha prórroga no puede ser extendido a $f^3:K^3\to Y$.

La idea es que hay una obstrucción a la existencia de $f^3$ ya en la uni-dimensional, pero no por la obstrucción de la existencia de $f^2$. Está escrito en el Hilton y Wylie del libro que es posible, sin embargo, no fue capaz de construir un ejemplo claro a mí mismo.

Answer 1

Esta pregunta ha sido formulada y contestada en MathOverflow. Me han replicado la aceptó responder por Neil Strickland a continuación.

Aquí está un ejemplo con CW complejos en lugar de simplicial complejos. Dudo que hay una diferencia importante, aunque la simplicial caso será necesario que más de la contabilidad.

Tome $K = \mathbb{R}P^3$$Y = \mathbb{R}P^2$. Podemos dar $K$ un CW estructura con skeleta $\mathbb{R}P^k$$0 \leq k \leq 3$. Deje $f^1 : \mathbb{R}P^1 \to Y$ ser evidente la inclusión. Claramente esto se extiende sobre $K^2$. Ahora supongamos que tenemos una extensión de $f^3 : K^3 = K \to Y$$f^1$. Esto le dará una gradual anillo homomorphism $(f^3)^* : H^*(Y ; \mathbb{Z}/2) \to H^*(K; \mathbb{Z}/2)$, o en otras palabras $(f^3)^* : (\mathbb{Z}/2)[y]/y^3 \to (\mathbb{Z}/2)[x]/x^4$. Debido a $f^3$ extends $f^1$ debemos tener $(f^3)^*(y) = x$. Esto le da una contradicción, porque $y^3 = 0$ pero $x^3 \neq 0$.