La mayoría de los filósofos han acordado durante siglos que podemos estar completamente seguros de muy poco, casi nada. La famosa frase de Descartes argumenta cogito ergo sum, es decir, que la acción de contemplar la posibilidad de su inexistencia confirma su existencia (un buen ejemplo temprano de un "auto-derrota a prueba por contradicción"). Este argumento concreto ya no se piensa para ser inexpugnable: ver el artículo enlazado.
Así, la idea de que no se puede estar completamente seguro de que una prueba matemática es correcta, es cierto, pero de la misma manera que no se puede estar completamente seguro de prácticamente cualquier cosa: es decir, en una forma muy interesante y uno que no tiene nada que ver con el conocimiento matemático en particular.
Usted parece estar argumentando que una característica especial de la matemática, verificaciones, es que puede ser largo y complicado. No estoy de acuerdo que esto es particular a las matemáticas. Supongamos que yo quería crear una lista de todos los días entre el 1 de septiembre de 2010 y el 1 de septiembre de 2020 en la que la temperatura en mi condominio, nunca supera los 80 grados Fahrenheit. Lo que es un dolor en el trasero sería para estar razonablemente seguro de esto: posiblemente me gustaría que alguien se quede en mi condominio en todo momento, probablemente me gustaría comprar algunos equipos científicos (que no me fío de mi termostato que mucho, sobre todo para distinguir entre 79.5 y 80 grados); sin duda la tarea que tendrá diez años para completar. Este es un camino largo, difícil, esotéricos, la verificación de que no tiene nada que ver con las matemáticas.
Como he tratado de señalar, nada que decir argumenta en contra de los "pensamos que las matemáticas es la más segura de la rama de conocimiento". Usted también no ver que "nosotros" son o por qué pensamos que, pero sucede que yo creo que la matemática es, relativamente hablando, especialmente segura rama de conocimiento. Si me pasé diez años pensando en la prueba de la Conjetura de Poincaré, luego, al final me sería mucho más seguro en mi opinión de que es correcta [o, posiblemente, incorrecto!] que me gustaría estar en el final de mi condominio, la temperatura del experimento. Para PC me gustaría tener un coherente, bien entendido argumento de que yo podría dar la vuelta, adaptarse a otras situaciones, explorar las consecuencias de, etc. Podía quemar todos los documentos originales que he leído durante estos 10 años y no se mucho peor. Para mi condominio experimento de temperatura acabo de tener grandes cantidades de datos y una mayor o menor cantidad de experimental duda.
Complicado las cosas son realmente complicado, y creo que debemos ser honestos que siempre existe la posibilidad (y muy a menudo, la realidad) de un error humano. Volviendo a Descartes, él creía que había descubierto un método mediante el cual fue posible razón perfectamente sin errores, y aplicó su método para desarrollar el nuevo campo de la geometría analítica. Este fue fantástico, un trabajo pionero. Pero todo sin error? Por supuesto que no; como está bien documentado, hizo algunos errores. Lo hacen casi todos nosotros.
Pero yo diría que un relativamente simple prueba matemática tiene uno de los más altos grados de certeza de que somos capaces de reunir. En otra respuesta, alguien mencionó la infinitud de los números primos y de hecho hay una pregunta anterior en este sitio con el título "¿Es posible que sólo hay un número finito de números primos?" Cuando respondemos a Ninguna! estamos más seguros de que un investigador en cualquier otro campo, no puedo pensar que podría ser.
