cómo entender $\log\zeta(s)$ (función zeta de Riemann)?

Question

Sé que si una función $f$ es analítica y no tiene ceros en una región conexa simple, entonces podemos definir $\log{f}$ haciéndola analítica en esa región.

Supongamos que $Re(s)>1$ .

Es $\zeta(s)$ definido en una región conectada simple? Si no es así, ¿cómo puedo entender $\log\zeta(s)$ ?

Además, ¿es cierto que $\log\zeta(s) = -\sum_p \log(1-p^{-s})$ ? No tengo ni idea de esto porque no creo que siempre tengamos $\log{z_1z_2}=\log{z_1}+\log{z_2}$ .

Answer 1

Es $\zeta(s)$ definido en una región conectada simple? Si no es así, ¿cómo puedo entender $\log\zeta(s)$ ?

Dado que usted restringe $s$ al semiplano $\Re(s) > 1$ es el caso. El resultado que usted afirma le dice entonces que existe alguna función analítica $g$ definido en $\Re(s) > 1$ y tal que $\exp \circ g = \zeta$ en $\Re(s) > 1$ . Dicha función se denomina un logitmo de $\zeta$ en $\Re(s) > 1$ . Obsérvese que para cada $k\in\mathbb{Z}$ la función $g + i2k\pi$ sigue siendo un logaritmo de $\zeta$ desde $e^{i2\pi}=1$ . De hecho, es la única posibilidad: si $g_1$ y $g_2$ son dos logaritmos de $\zeta$ en $\Re(s) > 1$ , entonces hay algún número entero $k\in\mathbb{Z}$ tal que $g_2 - g_1 = i2k\pi$ .

Con esta comprensión del logaritmo, sólo sabrás (con la prueba del usuario58512) que la identidad $$ \log \zeta(s) = -\sum_p\log(1-p^{-s}) $$ es verdadero modulo $i2\pi$ por cada $\Re(s)>1$ .

Valor principal del logaritmo

La función $z\mapsto z$ es analítico en $\mathbb{C}$ pero se desvanece en $z = 0$ . Para superar este problema, nos limitamos a $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_-$ que es un dominio abierto y simplemente conectado donde $z$ no desaparece. Por lo tanto, admite logaritmos y podríamos elegir cualquiera de ellos... pero sería maravilloso que nuestro complejo logaritmo coincide en $(0;\infty)$ con los habituales real logaritmo . ¡Esto es posible! Llamamos a éste valor principal del logaritmo complejo.

Prueba de la identidad

Tomemos $\log \zeta$ para ser el logaritmo de $\zeta$ en $\Re(s) > 1$ tal que $\log\zeta(s)$ coincide con el real logaritmo $\log(\zeta(s))$ cuando $s$ es real (por lo que será el valor principal).

La identidad $$ \log\zeta(s) = - \sum_p \log(1-p^{-s}) $$ es fácil de obtener a partir de la fórmula del producto de Euler cuando $s \in (1;\infty)$ es un real número. Pero ambos lados de esta ecuación se extienden analíticamente a $\Re(s) > 1$ para que, según el teorema de continuación analítica, sean iguales en $\Re(s)>1$ .