Intuición detrás de la definición de probabilidad condicional (para 2 eventos)

Question

¿Qué es lo que se intuye de la definición de probabilidad condicional? $P(A\mid B) = \large \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ? Busco una motivación intuitiva. Mi libro de texto se limita a dar una definición, pero no un verdadero desarrollo de esa definición. Espero que no sea mucho pedir.

Answer 1

En resumen, la esencia de la probabilidad condicional es en cada cálculo de probabilidad, encontrar el Whole (es decir, el conjunto universal), encontrar el Part (intersección entre el evento del que se intenta calcular la probabilidad y el conjunto universal) y dividir el Part por el Whole para encontrar la probabilidad de un evento determinado (es decir, la relación comparativa entre Part y Whole ).

Dejemos que A sea un evento cualquiera y U sea el conjunto de todos los eventos o resultados posibles:

$ P(A)=\frac{P(A)}{P(U)} = \frac{P(A \cap U)}{P(U)} = P(A|U) $

Si te cuesta ver la equivalencia completa anterior, recuerda que en la teoría de conjuntos $ A \cap B = A $ cuando A está contenido en B, que es siempre el caso de cualquier conjunto cuando se trata de encontrar la intersección con el conjunto universal ( U ).

¿Por qué tenemos que dividirnos?

Proporciones : Encontrar la probabilidad de un evento puede ser interpretado como un problema de proporción, lo que implica la existencia de un Part y un Whole . La forma en que se encuentra la cantidad de Part representan desde el Whole es dividiendo el Part por el Whole : $ \frac{Part}{Whole} $ (si todavía te sientes incómodo con el concepto y por alguna razón no puedes visualizar por qué la división te proporcionaría esa información, tómalo como una regla por ahora, en algún momento el concepto hará clic). Así pues, siempre que pienses en la probabilidad de un acontecimiento, piensa en el Part y el Whole Lo que nos lleva a la siguiente pregunta: ¿Cómo encontramos el Part y el Whole ? Tendremos que entender cómo representamos events para responder a esa pregunta.

Conjuntos, subconjuntos y cardinalidades : Un evento es un conjunto de resultados, la cardinalidad de un conjunto es la medida del tamaño de ese mismo conjunto. Ahora, para nuestra discusión de la teoría probabilística, verás que un Part es siempre un subconjunto del Whole (puede que estés pensando en algunos casos extremos que no se ajustan a esta regla, sigue leyendo y verás que esta idea es válida para todos los casos).

El primer paso para encontrar una probabilidad de cualquier evento es encontrar el conjunto que representa el Whole (es decir, el alcance de todos los resultados posibles, cuando se tira un dado de 6 caras el Whole se puede representar como los números del 1 al 6, ya que forman todos los resultados posibles), el segundo paso es encontrar el Part (es decir, el conjunto que contiene el subconjunto de resultados del que se intenta encontrar la probabilidad de ocurrencia).

Todo cálculo de probabilidad puede verse a través de la lente de una probabilidad condicional (¿Qué? Sigue leyendo :) )

Sea A un suceso cualquiera y U el conjunto de todos los sucesos o resultados posibles:

$ P(A)=\frac{P(A)}{P(U)} = \frac{P(A \cap U)}{P(U)} = P(A|U) $

Si te cuesta ver la equivalencia completa anterior, recuerda que en la teoría de conjuntos A y B = A cuando A está contenido en B, lo que siempre es el caso para cualquier conjunto cuando se trata de encontrar la intersección con el conjunto universal.

Como ejemplo, digamos que estamos interesados en conocer la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado de 6 caras, siempre se puede formular el problema pensando en la probabilidad condicional, cuando definimos que vamos a lanzar un dado de seis caras acabamos de definir implícitamente el conjunto entero (es decir, los posibles resultados son los números del 1 al 6), el segundo dato es el evento en sí del que queremos obtener la probabilidad (número par), es decir el Part . Una sutileza importante aquí, la parte que te interesa en primer lugar, no son TODOS los números pares sino los que forman parte de tu conjunto (es decir, subconjunto del Todo). ¿Cómo se encuentra ese subconjunto? ¿La intersección de los dos conjuntos? precisamente.

Así que la intersección te da la Part que te interesa, y una vez que tengas la Whole y Part se dividen los dos y se encuentra la probabilidad (frecuencia de ocurrencia, o la relación comparativa entre los Part y el Whole ).

Si el resultado o suceso del que se trata de encontrar la probabilidad no forma parte del conjunto, es decir, si la intersección de ambos conjuntos está vacía, entonces sabemos que la probabilidad de dicho suceso es nula, el suceso es sencillamente imposible de que ocurra, no hay forma de que obtengas un 7 si tiras un dado de 6 caras.

Recuerda siempre que cuando veas P(A|B) ya estamos diciendo explícitamente que B es el Whole o conjunto universal, todo lo que hay que hacer ahora es encontrar la relación comparativa entre el Part y Whole ..

Para terminar, permítanme aclarar algunos conceptos erróneos comunes:

1. En el contexto de la probabilidad condicional, además de la relación entre el Whole y Part la probabilidad de que lo que usted juzga sea el Whole ¡conjunto no importa por sí mismo! Como ejemplo, la probabilidad de que alguien tenga un tumor es irrelevante, si lo que estamos tratando de encontrar es la probabilidad de que alguien tenga un tumor benigno dado que la persona ya está diagnosticada con un tumor.

2. P(A|B) no es lo mismo que P(B|A) : La probabilidad de que alguien tenga un tumor benigno dado que la persona ya está diagnosticada con un tumor, no es la misma que la probabilidad de que alguien sea diagnosticado con un tumor dado el hecho de que la persona tiene un tumor benigno.

3. No debería P(A|B) sea igual a P(A and B) ? Este es un error común de interpretación de lo que significa la probabilidad condicional, no estamos interesados en la probabilidad de que A y B ocurran (es decir. $ \frac{P(A \cap B)}{P(U)} $ ), eso se llama probabilidad conjunta y es un tema aparte (y relacionado). La probabilidad condicional significa, ahora que B YA HA SUCEDIDO, ¿cuál es la probabilidad de A ¿también ocurre?

Answer 2

Se desprende de la siguiente idea:

La probabilidad de que A y B es la probabilidad de que B se produce, multiplicado por la probabilidad de que A ocurre dado que B ya ha ocurrido.

o en símbolos

$$P(A, B) = P(A|B)P(B)$$

Esto se reordena en

$$P(A|B) = \frac{P(A, B)}{P(B)}$$

Answer 3

Piénsalo así. ¿Cuál es la probabilidad de que el evento a y el evento b ¿sucede?

Para conseguirlo hay que entender que en distribuciones conjuntas independientes p(a,b) = p(a Y b) = p(a)*p(b). Por ejemplo, la probabilidad de obtener una cara y luego una cruz en dos lanzamientos de la moneda es la probabilidad de obtener una cara en el primer lanzamiento multiplicada por la probabilidad de obtener una cruz en el segundo lanzamiento. 1/2 * 1/2 = 1/4.

Así que volviendo a tu ejemplo. Desde a depende de b entonces la probabilidad de a y b p(a Y b), es igual a la probabilidad de que b ocurre, que es independiente, y la probabilidad de que a que depende de b, p(a|b).

Por lo tanto, si lo conectas al distribuciones conjuntas independientes ecuación que señalé anteriormente, se obtiene

p(a Y b) = p(b) * p(a|b).

Así que si mueves las cosas de un lado a otro obtienes,

p(a|b) = p(a Y B)/p(b)

O si se pone en mayúsculas como lo has hecho tú:

P(A|B) = P(A Y B) / P(B)

Answer 4

Como se nos da que $B$ se ha producido, reducimos el espacio muestral a $B$ . Ahora que, hemos reducido el espacio muestral a $B$ miramos cuál es la probabilidad $A$ también se ha producido lo que lleva a la intersección de ambos es decir $A \cap B$ .