¿Qué es lo que se intuye de la definición de probabilidad condicional? $P(A\mid B) = \large \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ ? Busco una motivación intuitiva. Mi libro de texto se limita a dar una definición, pero no un verdadero desarrollo de esa definición. Espero que no sea mucho pedir.
Considera las probabilidades como proporciones. Decir que algo tiene una sexta parte de probabilidad es decir que ocurre una sexta parte de las veces (ésta es sólo una interpretación: se ajusta a nuestros propósitos y a nuestra intuición, así que no nos preocupemos demasiado por su significado filosófico). A menudo calculamos las probabilidades simplemente dividiendo el número de posibilidades en las que se produce nuestro evento de interés entre el número de posibilidades totales; por ejemplo, para calcular las probabilidades de sacar un número par en un dado de seis caras, calculamos $3/6$ . (Esto funciona porque cada una de las posibilidades que estamos contando es igualmente probable, por supuesto).
Ahora digamos que queremos calcular la frecuencia $A$ ocurre, dado que sabemos $B$ ha ocurrido. Bien, necesitamos encontrar las ocurrencias de $A$ en este escenario, y dividir por el número total de posibilidades. Cuando sepamos $B$ ocurrieron, las ocurrencias de $A$ son todas y exactamente aquellas situaciones en las que ambos $A$ y $B$ ocurren, y como estamos asumiendo $B$ se produjo, el total número de posibilidades se reducen a sólo aquellas en las que eso ocurrió.
Por lo tanto, [ \mathbb P(A \mid B) = \frac { \text {# ocurrencias de A y B}}{ \text {# ocurrencias de B}} = \frac { \mathbb P(A \cap B)}{ \mathbb P(B)}\N]
porque el "número total de posibilidades" en las expresiones para $\mathbb P(B)$ y $\mathbb P(A \cap B)$ cancelar.
Básicamente, lo que estamos haciendo es centrarnos en una subsección particular de los eventos potenciales, y considerar qué proporción de esa subsección satisface cualquier propiedad que te interese (piensa en los diagramas de Venn). Así, por ejemplo, dado que el resultado de tu tirada fue par, en un dado de seis caras, es menos probable que sea menor que $4$ porque la mitad de los números $\{1,2,3,4,5,6\}$ son menores que $4$ pero sólo un tercio de los números de nuestra subsección $\{2,4,6\}$ son.
"ésta es sólo una interpretación: se ajusta a nuestros propósitos y a nuestra intuición, así que no nos preocupemos demasiado por lo que significa filosóficamente" --- ¿Qué significa filosóficamente?
Tal y como yo lo entiendo, la interpretación frecuentista consiste en incluir cada evento en algún tipo de serie de muchos experimentos y observar la media de ocurrencia de los resultados a largo plazo. Esto es fácil de hacer con lanzamientos de monedas o dados, pero no está tan claro cuál sería la serie de experimentos adecuada si se tratara de algo como preguntar cuál era la probabilidad de que la crisis de los misiles en Cuba condujera a una guerra nuclear (por ejemplo).
La interpretación bayesiana elude ese problema diciendo que la probabilidad es sólo una medida de su la falta de información sobre cuál será el resultado (y por lo tanto depende del sujeto), y decir que algo ocurre con probabilidad $p$ es sólo decir que estarías dispuesto (en algún sentido abstracto e idealizado) a pagar $p$ (y no más) por la oportunidad de ganar 1€ si la cosa sucede.
Piensa en esto: si $B$ es muy poco probable, pero cuando ocurre $A$ se hace probable entonces $P(A \text{ and } B)$ es pequeño mientras que $P(A|B)$ es grande.
Es muy poco probable que me toque el premio gordo de la lotería este fin de semana ( $B$ ) pero si lo hago es probable que me haga millonario ( $A$ ), por lo que la probabilidad de que me toque el gordo de la lotería y me haga millonario $P(A \text{ and } B)$ es pequeña, pero la probabilidad de que me haga millonario si me toca el gordo de la lotería $P(A|B)$ es alta.
Puede que quieras multiplicar por $P(B)$ y tratar de entender
$$ P(A \cap B) = P(A|B) P(B). $$
Esto dice que la probabilidad de que $A$ y $B$ ambos suceden puede calcularse tomando primero la probabilidad de que $B$ ocurre, entonces se multiplica por la probabilidad de que $A$ ocurrirá dado que $B$ sucede.
Dejemos que $\Omega$ sea su espacio de posibilidades. A continuación, $B$ es un subconjunto de $\Omega$ . La probabilidad $\mathbb P$ induce una probabilidad para los eventos que se encuentran en $B$ . A saber: $\mathbb P_B = \frac{\mathbb P}{\mathbb P(B)}$ . Puede comprobar el importante hecho de que $\mathbb P_B(B) = 1$ .
Entonces el evento $A \cap B$ visto como un evento en $B$ tiene probabilidad $\mathbb P_B(A \cap B)$ .
Así que yo diría que esto es sólo un cambio de base de $\Omega$ à $B$ .
Supongamos que meto la mano en el bolsillo, cojo una moneda al azar y la tiro. $A$ es el evento la moneda sale cara y $B$ es el evento la moneda tiene cara en ambas caras . Claramente $P(A\mid B)=1$ .
En efecto, hay $10$ monedas en mi bolsillo, y sólo una de ellas tiene cabeza en ambos lados. Cuando meto la mano a ciegas en el bolsillo y saco una moneda, sólo hay una posibilidad en $10$ que me toque la moneda de dos cabezas, así que $P(A~\mathbf{and}~B)$ puede ser como máximo $\frac1{10}$ la probabilidad de $B$ solo. En este ejemplo $P(A\mid B)$ claramente no puede ser igual a $P(A~\mathbf{and}~B)$ Y es fácil encontrar muchos ejemplos similares. Estos ejemplos no demuestran cuál es el cálculo correcto, pero sí muestran claramente que en general $P(A\mid B)\ne P(A~\mathbf{and}~B)$ ; otras respuestas han explicado la fórmula correcta.
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Informalmente, las posibilidades de que A ocurra dado que B ya ha ocurrido se toman encontrando la probabilidad de que tanto A como B ocurran, y se dividen por la posibilidad de que B ya haya ocurrido.
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Dibujar un diagrama de Venn para $A$ y $B$ y la interpretación de las probabilidades como áreas puede ayudar. Si se da que $B$ ha ocurrido, entonces puede restringir su atención al nuevo espacio de muestra $B$ . La probabilidad de que $A$ se produce dado $B$ es la relación entre el área de $A\cap B$ a la zona de $B$ .