Valor de "por supuesto" en la literatura matemática

Question

He estado pensando sobre el valor de la escritura "de curso" en matemática papeles (o sus variantes como "obviamente", etc.). En particular, mi tren de pensamiento actuales es que, si algo es evidente, entonces es obvio que es obvio (entonces, ¿por qué incluir a todos?).

El ejemplo que ha inspirado este post es: Si d divide a a y d divide a b, entonces, por supuesto d también divide a a+b.

Hay ejemplos en la literatura matemática, donde el término "supuesto" es de valor?

Más precisamente, estoy después de un ejemplo (o un par), lo ideal es un autor muy conocido, donde "por supuesto" o "obviamente" o similar realmente añade valor tangible a una frase (en lugar de sólo lo que implica: (a) es obvio para mí, que soy tan inteligente o (b) realmente no puedo ser molestado trabajando en los detalles)

Answer 1

No estoy de acuerdo de que si algo es evidente, entonces es obvio que es obvio. Cuando un autor declara en una matemática de la exposición que es un hecho evidente, o que dice que "por supuesto", o algo con un significado similar, entonces es una señal de que el lector debería ser capaz de encontrar una muy sencilla razón que justifica la declaración, en lugar de un complejo. Esta información es útil para el autor de la señal, y yo, como lector, a menudo han sido agradecido por ello.

La verdad agravantes de los usos de estas frases se producen cuando el autor dice que algo es "obvio" o "claro", pero en realidad no lo es. Seguramente muchos de nosotros hemos estado en situaciones de lectura de un documento donde el autor dice que "claramente", pero después de mucho pensarlo, todavía no es tan clara. Creo que estas frases se utilizan a menudo porque el autor no quiere trabajar en todos los detalles, una especie de pereza, que también puede ser una peligrosa fuente de error matemático.

He visto documentos donde el autor dice, "es obvio que X, y voy a explicar por qué..."

Answer 2

Cuando era un estudiante graduado, un profesor (que permanecerá sin nombre ya que yo podría misquoting) dijo algo a lo largo de las líneas de "Si quieres ver dónde están los errores en un libro de matemáticas, sólo tiene que buscar los lugares donde el autor dice ' es obvio que ', 'claramente', o 'por supuesto'."

Answer 3

Si alguien dijo: "por supuesto que la ecuación está bien planteado porque es elíptica, etc" sería enseñar al lector de que la declaración no sólo es cierto, sino que es un conocido tren de pensamiento para probar el resultado.

En este sentido no hay ninguna afirmación de que la prueba es corta o contiene sólo simples pasos, pero sí decir que entre una determinada clase de personas familiarizadas con el área que es de hecho un camino recorrido.

Brevemente he consultado un diccionario y encontré estas dos definiciones de "por supuesto" 1. "ciertamente; definitivamente" 2. "en la costumbre o el orden natural de las cosas"

Estoy sugiriendo que "por supuesto" es útil en la segunda instancia como pedagógico indicador.

No estoy afirmando que este es siempre el uso de la empleada en matemática escrita, pero es buena si se utiliza en las circunstancias adecuadas.

Answer 4

Como Konrad Swanepoel, he encontrado muchos errores, especialmente en mi propio trabajo, en torno a que "por supuesto" o expresiones semejantes, y el decir de uno de mis primeros maestros que a menudo me dice "Si es obvio, entonces es fácil de probar, por lo que demostrarlo".

Dicho esto, creo que hay casos en que "por supuesto", añade algún valor para un matemático de texto: es decir, para justificar ante el lector por qué usted no está tomando un aparentemente la ruta más corta. Supongamos que quieres demostrar que una determinada afirmación, y que en su contexto, la prueba sería fácil si algunos grupos fueron finito, y supongamos que en el estándar histórico papel en el tema que se está generalizando, los grupos en cuestión son finitos. Entonces, creo que es útil señalar en el comienzo de su prueba o en un comentario que "por supuesto, si los grupos eran conocidos para ser finito, se podría utilizar la estrategia de...". Este "supuesto", lejos de llamar la atención a qué tan inteligente es el autor, se supone que el lector pudiera haber previsto una aparentemente más corto de la prueba y explica por qué esta ruta corta, no fue tomada.

Answer 5

Hola,

Estoy de acuerdo con algunos de los comentarios de arriba: "por supuesto", es útil señalar que algunos paso es trivial (por ejemplo, consecuencia directa de la definición), al contrario del resto de los no-trivial de las partes de la prueba. A veces, "por supuesto" es útil sólo como una estilística de los recursos en la escritura, para introducir y conectar de una frase a la anterior. Pero puede ser muy frustrante para el lector si este paso no es trivial, aunque el autor afirma que es.

Tenía curiosidad acerca de esta cuestión y decidió encontrar algunos ejemplos en la "matemática de la literatura", como el cartel original sugerido. Miré a través de "Un Curso de Aritmética", por J-P. Serre (que muchos consideran un muy buen escritor de matemáticas) y la expresión "por supuesto" aparece exactamente dos veces. En ambos casos, "por supuesto", aparece en un paréntesis comentario:

1) (pág.35) Corolario. - Para dos degenerada de la formas cuadráticas más de $\mathbb{F}_q$ a ser equivalentes, es necesario y suficiente que ellos tienen el mismo rango y el mismo discriminante. (Por supuesto, el discriminante es visto como un elemento del cociente del grupo de $\mathbb{F}_q^\ast/\mathbb{F}_q^{\ast 2}$.)

2) (pág.73) Dejar que $A$ es un subconjunto de $P$ [$P$ es el conjunto de los números primos]. Se dice que $Un$ ha para la densidad de un número real $k$ cuando la relación $$ \left(\sum_{p\en Una}\frac{1}{p^s} \right)/ \left(\log \frac{1}{s-1}\right)$$ tiende a $k$ cuando $s\a 1$. (Por supuesto, uno tiene $0 \leq k \leq 1$.)

En el ejemplo (1), la forma en que el corolario es dicho, un comentario es necesario - pero (i) es claro en el contexto que esto es lo que el autor quiere decir, y (ii) que es típico en este contexto a considerar discriminantes sólo hasta las plazas. Aquí veo a este "supuesto" como un recordatorio de (ii).

Ejemplo (2) es más complicado, ya que no es inmediatamente obvio que el límite de la expresión como $s\1$ es de entre $0$ y $1$. Pero yo no interpreto que este "supuesto" como un "claramente" en este caso, sino más bien una especie de "no te preocupes, si vas hacia atrás y comprobación de Co 2 en p. 70, usted puede convencerse de que $0\leq k \leq 1$, y tiene sentido llamar a este número una densidad".

Álvaro

PS: En "Un Curso de Aritmética", la palabra "claramente" aparece muchas veces, mientras que "obviamente" no se utiliza nunca en todo el libro.