Dos primitivas aparentemente diferentes de$\frac{1}{2 x}$

Question

¿Cuál es la forma correcta de calcular esta integral, y por qué?

$$ \int\frac{1}{2x}\text dx $$

Pensé, que esta sustitución es de derecho: $$ t = 2x $$ $$ \text dt = 2\text dx $$ $$ \frac{\text dt}{2} = \text dx $$ $$ \int\frac{1}{2x}\text dx=\int\frac{1}{t}\frac{\text dt}{2}=\frac{1}{2}\ln|2x| + C . $$

Pero no es correcto, debido a que esta es la respuesta correcta: $$ \int\frac{1}{2x}\text dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\text dx=\frac{1}{2}\ln|x| + C . $$

Alguien puede explicar a mí, por qué es el primer camino equivocado? Cuando me derivan tanto de los resultados, obtengo el mismo resultado.

Answer 1

La diferencia es la constante $+C$:

$$\ln(2x)=\ln(x)+\ln(2)$$

En otras palabras, ambos métodos y ambas respuestas son correctas.

Answer 2

Usted es correcto.

Desde $\ln|2x|=\ln|x|+\ln 2$

$$ \int \frac{1}{2x} \ dx = \ln|2x| + C_1 = \ln|x| + \overset{\text{New const}} {\overbrace {\ln 2 + C_1}} = \ln|x| + C $$

Answer 3

Ambas respuestas son las mismas hasta una constante aditiva (difieren en sus opciones de $C$).

Esto es debido a dos leyes: $$|ab| = |a|~|b|$$ and $$\ln(a b) = \ln a + \ln b$$hence,$$\ln |2x| = \ln (2~ |x|) = \ln 2 + \ln |x|.$$So one of them just has an extra $\frac 1 2 \ln 2$ viven en la constante aditiva arbitraria y que tiene por qué usted conseguir el derivado de la misma para los dos.

Answer 4

Las dos respuestas se ponen de acuerdo, es decir, el cálculo de la primera realmente producir una antiderivada de $\frac{1}{2 x}$ como se esperaba, al menos siempre que interpretar $C$ a ser una constante en general en ambos casos. La expansión de la primera antiderivada da $$\frac{1}{2} \ln |2x| + C = \frac{1}{2} (\log |x| + \log 2) + C = \frac{1}{2} \log |x| + \left(C + \frac{1}{2} \log 2\right).$$ Así que, si denotamos $C' := C + \frac{1}{2} \log 2$, esto es antiderivada $$\frac{1}{2} \ln |x| + C',$$ que (de nuevo, considerados como una familia de funciones, todos iguales hasta un más de un constante) coincide con el segundo antiderivada.

Esto ejemplifica la afirmación de que una antiderivada de una función dada es único hasta la adición de un volumen constante. (En realidad, esto solo necesita ser verdadero cuando el dominio de la función está conectada, lo que en particular no es el caso para el integrando, pero esto no es esencial a la pregunta en cuestión.)

Answer 5

Tenga en cuenta que en la mayoría de los casos, una buena práctica es factor a las constantes frente a la integral. Excepto en el caso cuando la constante es cero, entonces la integral también es cero.